Номер 704, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

704. а) Как оценивают абсолютную погрешность суммы, разности двух чисел?

б) Если приближённо вычисляют сумму или разность двух чисел с абсолютной погрешностью не более $10^{-3}$, то как надо упростить эти числа?

а) Абсолютная погрешность суммы или разности двух приближенных чисел оценивается суммой их абсолютных погрешностей.
Пусть $x$ и $y$ – точные значения, а $a$ и $b$ – их приближенные значения. Тогда абсолютные погрешности приближений равны $\Delta_a = |x - a|$ и $\Delta_b = |y - b|$.
Оценим абсолютную погрешность суммы $a+b$:
$\Delta_{a+b} = |(x+y) - (a+b)| = |(x-a) + (y-b)|$.
Используя свойство модуля суммы (неравенство треугольника), получаем:
$|(x-a) + (y-b)| \le |x-a| + |y-b| = \Delta_a + \Delta_b$.
Таким образом, абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых: $\Delta_{a+b} \le \Delta_a + \Delta_b$.
Аналогично оценивается абсолютная погрешность разности $a-b$:
$\Delta_{a-b} = |(x-y) - (a-b)| = |(x-a) - (y-b)| \le |x-a| + |y-b| = \Delta_a + \Delta_b$.
Таким образом, абсолютная погрешность разности также не превосходит суммы абсолютных погрешностей: $\Delta_{a-b} \le \Delta_a + \Delta_b$.
Ответ: Абсолютная погрешность суммы или разности двух чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

б) Пусть нам нужно вычислить сумму или разность двух чисел с абсолютной погрешностью, не превышающей $10^{-3} = 0.001$.
Согласно правилу из пункта а), абсолютная погрешность результата $\Delta_{рез}$ связана с абсолютными погрешностями исходных чисел $\Delta_1$ и $\Delta_2$ соотношением:
$\Delta_{рез} \le \Delta_1 + \Delta_2$.
Нам необходимо, чтобы выполнялось условие $\Delta_{рез} \le 10^{-3}$. Следовательно, мы должны упростить (округлить) исходные числа так, чтобы сумма их погрешностей не превышала $10^{-3}$:
$\Delta_1 + \Delta_2 \le 10^{-3}$.
Чтобы гарантированно выполнить это условие, достаточно потребовать, чтобы погрешность каждого из чисел была не более половины от заданной погрешности результата. То есть:
$\Delta_1 \le \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3}$ и $\Delta_2 \le \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3}$.
При округлении числа до $n$-го десятичного знака абсолютная погрешность округления не превышает половины единицы $n$-го разряда, то есть $0.5 \times 10^{-n}$.
В нашем случае нужно, чтобы погрешность округления была не более $0.5 \times 10^{-3}$. Это достигается при округлении до третьего знака после запятой (до тысячных), так как для $n=3$ погрешность округления не превышает $0.5 \times 10^{-3}$.
Таким образом, если мы округлим каждое из чисел до тысячных, то сумма погрешностей не превысит $0.5 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3} = 10^{-3}$, что и требовалось.
Ответ: Эти числа надо упростить, округлив их до третьего десятичного знака (до тысячных).