Номер 701, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

701. Округлите следующие числа, заменяя последние две цифры нулями:
а) 71 523;
б) 0,568;
в) 0,00328.
Оцените относительную погрешность полученных приближений.

Для решения задачи сначала выполним округление каждого числа согласно условию, а затем вычислим относительную погрешность для каждого случая.

Общая формула для относительной погрешности $\delta$ такова: $$ \delta = \frac{|\text{точное значение} - \text{приближенное значение}|}{|\text{точное значение}|} = \frac{\Delta x}{|x|} $$ Часто ее выражают в процентах, умножая результат на 100%.

а) 71 523

Сначала округлим число 71 523, заменяя последние две цифры (2 и 3) нулями. Это эквивалентно округлению числа до разряда сотен. Для этого смотрим на цифру, стоящую в разряде десятков. Это цифра 2.
Поскольку $2 < 5$, мы округляем в меньшую сторону (отбрасываем последние две цифры и заменяем их нулями).
Приближенное значение: $x_{прибл} = 71 500$.
Теперь оценим относительную погрешность.
Точное значение: $x = 71 523$.
Абсолютная погрешность: $$ \Delta x = |71 500 - 71 523| = |-23| = 23 $$ Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{23}{71 523} \approx 0,00032155... $$ Выразим в процентах: $0,00032155 \times 100\% \approx 0,032\%$.

Ответ: Приближенное значение: 71 500. Относительная погрешность: $\frac{23}{71 523} \approx 0,032\%$.

б) 0,568

Округляем число 0,568. Замена последних двух цифр (6 и 8) нулями означает, что мы округляем число до разряда, предшествующего им, то есть до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 6.
Поскольку $6 \ge 5$, мы округляем в большую сторону. Цифру в разряде десятых увеличиваем на 1.
Приближенное значение: $x_{прибл} = 0,6$.
Теперь оценим относительную погрешность.
Точное значение: $x = 0,568$.
Абсолютная погрешность: $$ \Delta x = |0,6 - 0,568| = 0,032 $$ Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,032}{0,568} = \frac{32}{568} = \frac{4}{71} \approx 0,056338... $$ Выразим в процентах: $0,056338 \times 100\% \approx 5,63\%$.

Ответ: Приближенное значение: 0,6. Относительная погрешность: $\frac{4}{71} \approx 5,63\%$.

в) 0,00328

Округляем число 0,00328. Замена последних двух значащих цифр (2 и 8) нулями означает, что мы округляем число до разряда, предшествующего им, то есть до тысячных. Смотрим на цифру в разряде десятитысячных. Это цифра 2.
Поскольку $2 < 5$, мы округляем в меньшую сторону.
Приближенное значение: $x_{прибл} = 0,003$.
Теперь оценим относительную погрешность.
Точное значение: $x = 0,00328$.
Абсолютная погрешность: $$ \Delta x = |0,003 - 0,00328| = |-0,00028| = 0,00028 $$ Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,00028}{0,00328} = \frac{28}{328} = \frac{7}{82} \approx 0,085365... $$ Выразим в процентах: $0,085365 \times 100\% \approx 8,54\%$.

Ответ: Приближенное значение: 0,003. Относительная погрешность: $\frac{7}{82} \approx 8,54\%$.