Номер 703, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

703. Округлите числа:

$a = 23 \ 807 \ 113, b = 10,006348, c = 0,00238072113,$

заменяя цифры, начиная с некоторого разряда, нулями так, чтобы полученные числа приближали $a, b, c$ с относительной погрешностью, меньшей чем:

а) $0,001$;

б) $\frac{1}{2} \cdot 0,001$.

Для решения задачи необходимо округлить числа $a, b, c$ таким образом, чтобы относительная погрешность $ε$ была меньше заданного значения. Относительная погрешность вычисляется по формуле $ε = \frac{|x - x'|}{|x|}$, где $x$ — точное значение, а $x'$ — приближенное (округленное) значение. Условие $ε < ε_{max}$ эквивалентно условию для абсолютной погрешности $Δ = |x - x'| < |x| \cdot ε_{max}$.

Мы будем использовать стандартные правила округления до определенного разряда, находя самый "грубый" возможный вариант округления, который удовлетворяет условию.

а) Требуется, чтобы относительная погрешность была меньше чем $0,001$.

Для числа $a = 23 807 113$:
Найдем максимальную допустимую абсолютную погрешность: $Δ_{max} = a \cdot 0,001 = 23 807 113 \cdot 0,001 = 23 807,113$.
- Попробуем округлить до миллионов (до $1 000 000$). Следующая цифра (8 в разряде сотен тысяч) больше 5, значит округляем вверх: $a' = 24 000 000$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |23 807 113 - 24 000 000| = 192 887$. $192 887 > 23 807,113$. Это округление не подходит.
- Попробуем округлить до сотен тысяч (до $100 000$). Следующая цифра (0 в разряде десятков тысяч) меньше 5, значит округляем вниз: $a' = 23 800 000$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |23 807 113 - 23 800 000| = 7 113$. $7 113 < 23 807,113$. Это округление подходит.

Для числа $b = 10,006348$:
Максимальная допустимая абсолютная погрешность: $Δ_{max} = b \cdot 0,001 = 10,006348 \cdot 0,001 = 0,010006348$.
- Попробуем округлить до целых. Следующая цифра (0 в разряде десятых) меньше 5, округляем вниз: $b' = 10$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |10,006348 - 10| = 0,006348$. $0,006348 < 0,010006348$. Это округление подходит.

Для числа $c = 0,00238072113$:
Максимальная допустимая абсолютная погрешность: $Δ_{max} = c \cdot 0,001 = 0,00238072113 \cdot 0,001 \approx 0,00000238$.
- Попробуем округлить до десятитысячных ($0,0001$). Следующая цифра (8 в разряде стотысячных) больше 5, округляем вверх: $c' = 0,0024$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |0,00238072113 - 0,0024| \approx 0,00001928$. $0,00001928 > 0,00000238$. Это округление не подходит.
- Попробуем округлить до стотысячных ($0,00001$). Следующая цифра (0 в разряде миллионных) меньше 5, округляем вниз: $c' = 0,00238$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |0,00238072113 - 0,00238| = 0,00000072113$. $0,00000072113 < 0,00000238$. Это округление подходит.

Ответ: $a' = 23 800 000$, $b' = 10$, $c' = 0,00238$.

б) Требуется, чтобы относительная погрешность была меньше чем $\frac{1}{2} \cdot 0,001 = 0,0005$.

Для числа $a = 23 807 113$:
Максимальная допустимая абсолютная погрешность: $Δ_{max} = a \cdot 0,0005 = 23 807 113 \cdot 0,0005 = 11 903,5565$.
- Округляем до сотен тысяч: $a' = 23 800 000$.
Абсолютная погрешность: $Δ = 7 113$.
$7 113 < 11 903,5565$. Это округление подходит.

Для числа $b = 10,006348$:
Максимальная допустимая абсолютная погрешность: $Δ_{max} = b \cdot 0,0005 = 10,006348 \cdot 0,0005 \approx 0,005003$.
- Попробуем округлить до десятых ($0,1$). Следующая цифра (0) меньше 5, округляем вниз: $b' = 10,0$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |10,006348 - 10,0| = 0,006348$.
$0,006348 > 0,005003$. Это округление не подходит.
- Попробуем округлить до сотых ($0,01$). Следующая цифра (6) больше 5, округляем вверх: $b' = 10,01$.
Абсолютная погрешность: $Δ = |10,006348 - 10,01| = 0,003652$.
$0,003652 < 0,005003$. Это округление подходит.

Для числа $c = 0,00238072113$:
Максимальная допустимая абсолютная погрешность: $Δ_{max} = c \cdot 0,0005 = 0,00238072113 \cdot 0,0005 \approx 0,00000119$.
- Округляем до стотысячных ($0,00001$): $c' = 0,00238$.
Абсолютная погрешность: $Δ = 0,00000072113$.
$0,00000072113 < 0,00000119$. Это округление подходит.

Ответ: $a' = 23 800 000$, $b' = 10,01$, $c' = 0,00238$.