Номер 710, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

710. Какое округление чисел 0,378561; 2,235622; 3,789012; 4,251617 необходимо провести, чтобы их сумма была получена на с абсолютной погрешностью не более $0,1$? Выполните сложение данных чисел приближённо с точностью до $0,1$.

Какое округление чисел 0,378561; 2,235622; 3,789012; 4,251617 необходимо провести, чтобы их сумма была получена с абсолютной погрешностью не более 0,1?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством погрешности суммы. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не превышает сумму абсолютных погрешностей слагаемых.

Пусть $\Delta_{\Sigma}$ - абсолютная погрешность суммы, а $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ - абсолютные погрешности каждого из четырех слагаемых. Тогда справедливо неравенство:

$\Delta_{\Sigma} \le \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4$

По условию, погрешность суммы не должна превышать 0,1, то есть $\Delta_{\Sigma} \le 0,1$.

Чтобы гарантировать выполнение этого условия, будем округлять все числа с одинаковой точностью. Пусть максимальная абсолютная погрешность округления каждого числа равна $\varepsilon$. Тогда $\Delta_i \le \varepsilon$ для каждого $i=1, 2, 3, 4$. Следовательно, погрешность суммы будет не более $4\varepsilon$:

$\Delta_{\Sigma} \le 4\varepsilon$

Нам нужно, чтобы $4\varepsilon \le 0,1$, откуда $\varepsilon \le \frac{0,1}{4}$, то есть $\varepsilon \le 0,025$.

Теперь определим, до какого разряда нужно округлить числа, чтобы погрешность округления каждого из них не превышала 0,025. При округлении числа до некоторого разряда, абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда.

• При округлении до десятых (до 0,1), погрешность $\le \frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,05$. Это больше, чем 0,025 ($0,05 > 0,025$). Такое округление не подходит.
• При округлении до сотых (до 0,01), погрешность $\le \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 0,005$. Это меньше, чем 0,025 ($0,005 \le 0,025$). Такое округление подходит.

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность суммы не превышала 0,1, необходимо каждое из чисел округлить до сотых.

Ответ: Числа необходимо округлить до сотых.

Выполните сложение данных чисел приближённо с точностью до 0,1.

Для выполнения сложения с заданной точностью (до 0,1, т.е. до десятых) слагаемые нужно предварительно округлить до разряда, следующего за требуемым, то есть до сотых. Это обеспечивает наличие "запасного" знака для более точного итогового округления. Этот вывод согласуется с решением предыдущей части задачи.

Округлим каждое число до сотых:

• $0,378561 \approx 0,38$
• $2,235622 \approx 2,24$
• $3,789012 \approx 3,79$
• $4,251617 \approx 4,25$

Теперь сложим полученные приближенные значения:

$0,38 + 2,24 + 3,79 + 4,25 = 10,66$

Полученная сумма $10,66$ содержит "запасной" знак (сотые). Чтобы получить итоговый ответ с точностью до 0,1, необходимо округлить эту сумму до десятых.

$10,66 \approx 10,7$

Ответ: $10,7$.