Номер 716, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

716. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей $0,01$, частное двух чисел:

а) $0,12345678...$ и $2,\overline{17}$;

б) $12,3\overline{4}$ и $0,015639$;

в) $123,567$ и $0,13\overline{7}$;

г) $4,\overline{567}$ и $31,5\overline{32}$.

Чтобы вычислить частное двух чисел с относительной погрешностью, меньшей 0,01, мы воспользуемся правилом сложения относительных погрешностей. Относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $\delta_{a/b} \approx \delta_a + \delta_b$.

Чтобы итоговая относительная погрешность была меньше 0,01, мы должны подобрать приближения для делимого $a$ и делителя $b$ так, чтобы сумма их относительных погрешностей была меньше 0,01. Относительная погрешность числа, округленного до $n$ значащих цифр, в большинстве случаев будет меньше 0,005, если $n=3$. Таким образом, если мы округлим оба числа до 3 значащих цифр, суммарная погрешность частного будет меньше $0,005 + 0,005 = 0,01$.

Алгоритм решения для каждой задачи будет следующим:

1. Округлить делимое и делитель до трех значащих цифр.
2. Разделить полученные приближения.
3. Округлить результат также до трех значащих цифр, поскольку точность результата определяется точностью исходных данных.

а)

Даны числа $a = 0,12345678...$ и $b = 2,(17)$.

1. Округляем число $a$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 0,123$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 2,171717...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 2, 1, 7. Следующая цифра — 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 2,17$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{0,123}{2,17} \approx 0,056682...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 5, 6, 6. Следующая цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.

Ответ: $0,0567$.

б)

Даны числа $a = 12,3(4)$ и $b = 0,015639$.

1. Представляем число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 12,3444...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 12,3$.

2. Округляем число $b$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 5, 6. Следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 0,0156$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{12,3}{0,0156} \approx 788,4615...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 7, 8, 8. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $788$.

в)

Даны числа $a = 123,567$ и $b = 0,13(7)$.

1. Округляем число $a$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону: $a \approx 124$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 0,13777...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 3, 7. Следующая цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $b \approx 0,138$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{124}{0,138} \approx 898,5507...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 8, 9, 8. Следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону.

Ответ: $899$.

г)

Даны числа $a = 4,(567)$ и $b = 31,5(32)$.

1. Представляем число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 4,567567...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 4, 5, 6. Следующая цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $a \approx 4,57$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 31,53232...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 3, 1, 5. Следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 31,5$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{4,57}{31,5} \approx 0,145079...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 4, 5. Следующая цифра — 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $0,145$.