Номер 713, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

713. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей 0,001, произведение двух чисел:

а) $0,12345678...$ и $2,(7)$;

б) $0,000(7)$ и 16,723561;

в) $1,(3)$ и 0,0001436;

г) $\pi$ и 1567,23.

Чтобы вычислить произведение двух чисел с относительной погрешностью, меньшей 0,001, воспользуемся правилом: относительная погрешность произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Пусть $x$ и $y$ — данные числа, а $x_1$ и $y_1$ — их приближения. Тогда относительная погрешность их произведения $P = xy$ вычисляется как $\delta_P \approx \delta_x + \delta_y$.

Нам нужно, чтобы $\delta_P < 0,001$. Для этого достаточно взять каждый сомножитель с относительной погрешностью, меньшей чем $0,001 / 2 = 0,0005$.

Чтобы обеспечить такую точность, округлим каждый сомножитель до 4-5 значащих цифр. Затем найдем их произведение и округлим результат до такого количества значащих цифр, сколько их в наименее точном сомножителе.

а) Вычислим произведение чисел $0,12345678...$ и $2,(7)$.

Первое число $x = 0,12345678...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 0,12346$.

Второе число $y = 2,(7) = 2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} = 2,7777...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 2,7778$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 0,12346 \cdot 2,7778 = 0,342938568$.

Оба сомножителя были взяты с 5 значащими цифрами. Результат следует округлить до 4 значащих цифр, чтобы гарантировать верность.

$P \approx 0,3429$.

Ответ: $0,3429$.

б) Вычислим произведение чисел $0,000(7)$ и $16,723561$.

Первое число $x = 0,000(7) = \frac{7}{9000} \approx 0,0007777...$. Округлим его до 4 значащих цифр (первая значащая цифра - это 7): $x_1 = 0,0007778$.

Второе число $y = 16,723561$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 16,724$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 0,0007778 \cdot 16,724 = 0,0130034072$.

Наименее точный сомножитель $x_1$ имеет 4 значащие цифры. Округлим результат до 4 значащих цифр.

$P \approx 0,01300$.

Ответ: $0,01300$.

в) Вычислим произведение чисел $1,(3)$ и $0,0001436$.

Первое число $x = 1,(3) = 1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1,3333...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 1,3333$.

Второе число $y = 0,0001436$ уже представлено с 4 значащими цифрами. Используем это значение: $y_1 = 0,0001436$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 1,3333 \cdot 0,0001436 = 0,00019146188$.

Наименее точный сомножитель $y_1$ имеет 4 значащие цифры. Округлим результат до 4 значащих цифр.

$P \approx 0,0001915$.

Ответ: $0,0001915$.

г) Вычислим произведение чисел $\pi$ и $1567,23$.

Первое число $x = \pi \approx 3,14159265...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 3,1416$.

Второе число $y = 1567,23$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 1567,2$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 3,1416 \cdot 1567,2 = 4923,498832$.

Оба сомножителя имеют по 5 значащих цифр. Округлим результат до 4 значащих цифр, чтобы гарантировать точность.

$P \approx 4923$.

Ответ: $4923$.