Страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

712. По какому правилу находят относительную погрешность приближения произведения чисел?

Для нахождения относительной погрешности приближения произведения чисел используется следующее правило: относительная погрешность произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

Рассмотрим это правило более формально. Пусть нам нужно вычислить произведение $P = x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n$. Вместо точных значений $x_i$ мы используем их приближенные значения $a_i$ с известными границами абсолютных погрешностей $\Delta a_i$.

Приближенным значением произведения будет $P_{прибл} = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n$.

Относительная погрешность каждого сомножителя $a_i$ (где $a_i \neq 0$) вычисляется по формуле:
$\delta_{a_i} = \frac{\Delta a_i}{|a_i|}$

Согласно правилу, граница относительной погрешности всего произведения $\delta_P$ находится путем сложения границ относительных погрешностей всех сомножителей:
$\delta_P \approx \delta_{a_1} + \delta_{a_2} + \dots + \delta_{a_n}$

Для примера рассмотрим произведение двух чисел $x$ и $y$, приближенные значения которых равны $a$ и $b$. Пусть их относительные погрешности равны $\delta_a$ и $\delta_b$. Тогда относительная погрешность их произведения $ab$ вычисляется как:
$\delta_{ab} \approx \delta_a + \delta_b$

Это правило означает, что при умножении приближенных чисел их относительные погрешности накапливаются (складываются), что может привести к значительному росту общей относительной погрешности, если сомножителей много.

Ответ: Относительную погрешность приближения произведения чисел находят по правилу, согласно которому относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Математически это выражается формулой: $\delta_{произв} \approx \sum_{i=1}^{n} \delta_{i}$, где $\delta_{i}$ — относительная погрешность i-го сомножителя.

713. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей 0,001, произведение двух чисел:

а) $0,12345678...$ и $2,(7)$;

б) $0,000(7)$ и 16,723561;

в) $1,(3)$ и 0,0001436;

г) $\pi$ и 1567,23.

Чтобы вычислить произведение двух чисел с относительной погрешностью, меньшей 0,001, воспользуемся правилом: относительная погрешность произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Пусть $x$ и $y$ — данные числа, а $x_1$ и $y_1$ — их приближения. Тогда относительная погрешность их произведения $P = xy$ вычисляется как $\delta_P \approx \delta_x + \delta_y$.

Нам нужно, чтобы $\delta_P < 0,001$. Для этого достаточно взять каждый сомножитель с относительной погрешностью, меньшей чем $0,001 / 2 = 0,0005$.

Чтобы обеспечить такую точность, округлим каждый сомножитель до 4-5 значащих цифр. Затем найдем их произведение и округлим результат до такого количества значащих цифр, сколько их в наименее точном сомножителе.

а) Вычислим произведение чисел $0,12345678...$ и $2,(7)$.

Первое число $x = 0,12345678...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 0,12346$.

Второе число $y = 2,(7) = 2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} = 2,7777...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 2,7778$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 0,12346 \cdot 2,7778 = 0,342938568$.

Оба сомножителя были взяты с 5 значащими цифрами. Результат следует округлить до 4 значащих цифр, чтобы гарантировать верность.

$P \approx 0,3429$.

Ответ: $0,3429$.

б) Вычислим произведение чисел $0,000(7)$ и $16,723561$.

Первое число $x = 0,000(7) = \frac{7}{9000} \approx 0,0007777...$. Округлим его до 4 значащих цифр (первая значащая цифра - это 7): $x_1 = 0,0007778$.

Второе число $y = 16,723561$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 16,724$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 0,0007778 \cdot 16,724 = 0,0130034072$.

Наименее точный сомножитель $x_1$ имеет 4 значащие цифры. Округлим результат до 4 значащих цифр.

$P \approx 0,01300$.

Ответ: $0,01300$.

в) Вычислим произведение чисел $1,(3)$ и $0,0001436$.

Первое число $x = 1,(3) = 1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1,3333...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 1,3333$.

Второе число $y = 0,0001436$ уже представлено с 4 значащими цифрами. Используем это значение: $y_1 = 0,0001436$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 1,3333 \cdot 0,0001436 = 0,00019146188$.

Наименее точный сомножитель $y_1$ имеет 4 значащие цифры. Округлим результат до 4 значащих цифр.

$P \approx 0,0001915$.

Ответ: $0,0001915$.

г) Вычислим произведение чисел $\pi$ и $1567,23$.

Первое число $x = \pi \approx 3,14159265...$. Округлим его до 5 значащих цифр: $x_1 = 3,1416$.

Второе число $y = 1567,23$. Округлим его до 5 значащих цифр: $y_1 = 1567,2$.

Найдем произведение приближений:

$P_1 = x_1 \cdot y_1 = 3,1416 \cdot 1567,2 = 4923,498832$.

Оба сомножителя имеют по 5 значащих цифр. Округлим результат до 4 значащих цифр, чтобы гарантировать точность.

$P \approx 4923$.

Ответ: $4923$.

714. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей $\frac{1}{500}$, произведение двух чисел:

a) 7,0(17) и 12,345678;

б) 0,013133133313... и 16,723561;

в) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

Для вычисления произведения $P = a \cdot b$ с относительной погрешностью $\delta_P$, меньшей $\varepsilon = \frac{1}{500} = 0.002$, мы воспользуемся свойством, что относительная погрешность произведения приблизительно равна сумме относительных погрешностей сомножителей: $\delta_P \approx \delta_a + \delta_b$. Чтобы итоговая погрешность была меньше $0.002$, мы должны выбрать приближения $a_1$ для $a$ и $b_1$ для $b$ с достаточной точностью.

Один из способов — округлить каждый сомножитель до определенного количества $k$ значащих цифр. Относительная погрешность округления до $k$ значащих цифр оценивается как $\delta \approx \frac{1}{2d \cdot 10^{k-1}}$, где $d$ — первая значащая цифра числа.Потребуем, чтобы относительная погрешность каждого сомножителя была меньше половины требуемой погрешности, т.е. $\delta_a < 0.001$ и $\delta_b < 0.001$. Тогда из оценки $\delta < \frac{1}{2 \cdot 10^{k-1}}$ (для чисел, у которых первая значащая цифра больше 1) получаем $\frac{1}{2 \cdot 10^{k-1}} < 0.001$, что дает $10^{k-1} > 500$. Так как $10^2 = 100$ и $10^3 = 1000$, то $k-1$ должно быть больше 2, но меньше 3. Точнее, $k-1 > \log_{10}(500) \approx 2.7$, следовательно, $k > 3.7$.

Таким образом, для обеспечения необходимой точности достаточно взять $k=4$ значащие цифры для каждого сомножителя.

Алгоритм вычисления:
1. Округлить каждый из сомножителей до четырех значащих цифр.
2. Перемножить полученные приближения.
3. Округлить результат до четырех значащих цифр.

а) Даны числа $7,0(17)$ и $12,345678$.
Первое число: $a = 7,0(17) = 7,01717...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 7,017$.
Второе число: $b = 12,345678$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 12,35$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 7,017 \cdot 12,35 = 86,66095$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 86,66$.
Ответ: $86,66$.

б) Даны числа $0,01313313331...$ и $16,723561$.
Первое число: $a = 0,01313313331...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 0,01313$.
Второе число: $b = 16,723561$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 16,72$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 0,01313 \cdot 16,72 = 0,2195336$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 0,2195$.
Ответ: $0,2195$.

в) Даны числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.
Первое число: $a = \sqrt{2} \approx 1,41421...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 1,414$.
Второе число: $b = \sqrt{3} \approx 1,73205...$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 1,732$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 1,414 \cdot 1,732 = 2,449048$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 2,449$.
Ответ: $2,449$.

г) Даны числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.
Первое число: $a = \sqrt{5} \approx 2,23606...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 2,236$.
Второе число: $b = \sqrt{7} \approx 2,64575...$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 2,646$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 2,236 \cdot 2,646 = 5,916216$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 5,916$.
Ответ: $5,916$.

715. По какому правилу находят относительную погрешность приближений частного чисел?

Относительную погрешность приближенного значения частного двух чисел находят, используя правило сложения относительных погрешностей. Это правило является следствием общего подхода к оценке погрешностей функций нескольких переменных.

Пусть даны два приближенных числа $x_1$ и $y_1$, которые являются приближениями точных значений $x$ и $y$ соответственно. Пусть известны их относительные погрешности $\delta_x$ и $\delta_y$.

Относительная погрешность числа определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого числа:

$\delta_x = \frac{|x - x_1|}{|x|} \approx \frac{\Delta x}{|x_1|}$

$\delta_y = \frac{|y - y_1|}{|y|} \approx \frac{\Delta y}{|y_1|}$

Мы хотим найти относительную погрешность $\delta_z$ частного $z = x/y$, где в качестве приближенного значения частного используется $z_1 = x_1/y_1$.

Правило: Относительная погрешность частного двух приближенных чисел приближенно равна сумме их относительных погрешностей.

Математически это правило выражается формулой:

$\delta_{x/y} \approx \delta_x + \delta_y$

Это правило аналогично правилу для нахождения относительной погрешности произведения. Это связано с тем, что операция деления $x/y$ может быть представлена как произведение $x \cdot y^{-1}$. Относительная погрешность величины $y^{-1}$ равна относительной погрешности величины $y$. Поэтому, как и для произведения, относительные погрешности складываются.

Пример:

Найдем частное приближенных чисел $x_1 = 25.4$ с относительной погрешностью $\delta_x = 0.5\%$ и $y_1 = 5.2$ с относительной погрешностью $\delta_y = 1\%$.

1. Находим приближенное значение частного:

$z_1 = \frac{x_1}{y_1} = \frac{25.4}{5.2} \approx 4.88$

2. Находим относительную погрешность частного по правилу сложения:

$\delta_z \approx \delta_x + \delta_y = 0.5\% + 1\% = 1.5\%$

Таким образом, относительная погрешность результата составляет примерно $1.5\%$.

3. Мы можем также найти абсолютную погрешность результата:

$\Delta z \approx |z_1| \cdot \delta_z = 4.88 \cdot 0.015 \approx 0.0732$

Результат можно записать как $z \approx 4.88 \pm 0.07$.

Ответ: Относительную погрешность приближений частного чисел находят по правилу: относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя. Формула для этого правила: $\delta_{x/y} \approx \delta_x + \delta_y$, где $\delta_x$ и $\delta_y$ — относительные погрешности делимого и делителя соответственно.