Страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

704. а) Как оценивают абсолютную погрешность суммы, разности двух чисел?

б) Если приближённо вычисляют сумму или разность двух чисел с абсолютной погрешностью не более $10^{-3}$, то как надо упростить эти числа?

а) Абсолютная погрешность суммы или разности двух приближенных чисел оценивается суммой их абсолютных погрешностей.
Пусть $x$ и $y$ – точные значения, а $a$ и $b$ – их приближенные значения. Тогда абсолютные погрешности приближений равны $\Delta_a = |x - a|$ и $\Delta_b = |y - b|$.
Оценим абсолютную погрешность суммы $a+b$:
$\Delta_{a+b} = |(x+y) - (a+b)| = |(x-a) + (y-b)|$.
Используя свойство модуля суммы (неравенство треугольника), получаем:
$|(x-a) + (y-b)| \le |x-a| + |y-b| = \Delta_a + \Delta_b$.
Таким образом, абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых: $\Delta_{a+b} \le \Delta_a + \Delta_b$.
Аналогично оценивается абсолютная погрешность разности $a-b$:
$\Delta_{a-b} = |(x-y) - (a-b)| = |(x-a) - (y-b)| \le |x-a| + |y-b| = \Delta_a + \Delta_b$.
Таким образом, абсолютная погрешность разности также не превосходит суммы абсолютных погрешностей: $\Delta_{a-b} \le \Delta_a + \Delta_b$.
Ответ: Абсолютная погрешность суммы или разности двух чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

б) Пусть нам нужно вычислить сумму или разность двух чисел с абсолютной погрешностью, не превышающей $10^{-3} = 0.001$.
Согласно правилу из пункта а), абсолютная погрешность результата $\Delta_{рез}$ связана с абсолютными погрешностями исходных чисел $\Delta_1$ и $\Delta_2$ соотношением:
$\Delta_{рез} \le \Delta_1 + \Delta_2$.
Нам необходимо, чтобы выполнялось условие $\Delta_{рез} \le 10^{-3}$. Следовательно, мы должны упростить (округлить) исходные числа так, чтобы сумма их погрешностей не превышала $10^{-3}$:
$\Delta_1 + \Delta_2 \le 10^{-3}$.
Чтобы гарантированно выполнить это условие, достаточно потребовать, чтобы погрешность каждого из чисел была не более половины от заданной погрешности результата. То есть:
$\Delta_1 \le \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3}$ и $\Delta_2 \le \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3}$.
При округлении числа до $n$-го десятичного знака абсолютная погрешность округления не превышает половины единицы $n$-го разряда, то есть $0.5 \times 10^{-n}$.
В нашем случае нужно, чтобы погрешность округления была не более $0.5 \times 10^{-3}$. Это достигается при округлении до третьего знака после запятой (до тысячных), так как для $n=3$ погрешность округления не превышает $0.5 \times 10^{-3}$.
Таким образом, если мы округлим каждое из чисел до тысячных, то сумма погрешностей не превысит $0.5 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3} = 10^{-3}$, что и требовалось.
Ответ: Эти числа надо упростить, округлив их до третьего десятичного знака (до тысячных).

705. Оцените абсолютную погрешность приближённого равенства:

а) $123\,784,5 - 3897 \approx 124\,000 - 4000 = 120\,000;$

б) $0,784 + 0,385 \approx 0,7 + 0,3 = 1,0;$

в) $2,583012 + 7,00284 \approx 2,583 + 7,002 = 9,585;$

г) $0,5872 + 0,3895 \approx 0,59 + 0,39 = 0,98.$

а) Чтобы оценить абсолютную погрешность приближенного равенства, воспользуемся свойством погрешности суммы (или разности): абсолютная погрешность суммы (или разности) двух чисел не превышает суммы их абсолютных погрешностей. Рассмотрим приближение $123 784,5 - 3897 \approx 124 000 - 4000$. Здесь мы заменяем $123 784,5$ на $124 000$ и $3897$ на $4000$. Найдем абсолютную погрешность каждой замены:
Погрешность для первого числа: $\Delta_1 = |123 784,5 - 124 000| = |-215,5| = 215,5$.
Погрешность для второго числа: $\Delta_2 = |3897 - 4000| = |-103| = 103$.
Абсолютная погрешность результата $\Delta$ не превышает суммы этих погрешностей:
$\Delta \le \Delta_1 + \Delta_2 = 215,5 + 103 = 318,5$.
Ответ: абсолютная погрешность не превышает 318,5.

б) Рассмотрим приближение $0,784 + 0,385 \approx 0,7 + 0,3$. Здесь мы заменяем $0,784$ на $0,7$ и $0,385$ на $0,3$. Найдем абсолютную погрешность каждой замены:
Погрешность для первого слагаемого: $\Delta_1 = |0,784 - 0,7| = 0,084$.
Погрешность для второго слагаемого: $\Delta_2 = |0,385 - 0,3| = 0,085$.
Абсолютная погрешность суммы $\Delta$ не превышает суммы погрешностей слагаемых:
$\Delta \le \Delta_1 + \Delta_2 = 0,084 + 0,085 = 0,169$.
Ответ: абсолютная погрешность не превышает 0,169.

в) Рассмотрим приближение $2,583012 + 7,00284 \approx 2,583 + 7,002$. Здесь мы заменяем $2,583012$ на $2,583$ и $7,00284$ на $7,002$. Найдем абсолютную погрешность каждой замены:
Погрешность для первого слагаемого: $\Delta_1 = |2,583012 - 2,583| = 0,000012$.
Погрешность для второго слагаемого: $\Delta_2 = |7,00284 - 7,002| = 0,00084$.
Абсолютная погрешность суммы $\Delta$ не превышает суммы погрешностей слагаемых:
$\Delta \le \Delta_1 + \Delta_2 = 0,000012 + 0,00084 = 0,000852$.
Ответ: абсолютная погрешность не превышает 0,000852.

г) Рассмотрим приближение $0,5872 + 0,3895 \approx 0,59 + 0,39$. Здесь мы заменяем $0,5872$ на $0,59$ и $0,3895$ на $0,39$. Найдем абсолютную погрешность каждой замены:
Погрешность для первого слагаемого: $\Delta_1 = |0,5872 - 0,59| = |-0,0028| = 0,0028$.
Погрешность для второго слагаемого: $\Delta_2 = |0,3895 - 0,39| = |-0,0005| = 0,0005$.
Абсолютная погрешность суммы $\Delta$ не превышает суммы погрешностей слагаемых:
$\Delta \le \Delta_1 + \Delta_2 = 0,0028 + 0,0005 = 0,0033$.
Ответ: абсолютная погрешность не превышает 0,0033.

706. Найдите приближённо $a + b$ и $a - b$, приближая $a$ и $b$ до сотых с округлением. Определите абсолютную погрешность приближения $a + b$ и $a - b$, если:

а) $a = 12,35817, b = 6,9879;$

б) $a = 7,1723, b = 0,8192;$

в) $a = 11,1429, b = 3,2872;$

г) $a = -3,12\overline{27}, b = 1,22\overline{891};$

д) $a = 17,23\overline{38}, b = -21,\overline{136}.$

Общий план решения для каждого пункта:

1. Округлить числа $a$ и $b$ до сотых (до второго знака после запятой). Обозначим приближенные значения как $a'$ и $b'$.
2. Найти приближенные значения суммы $a' + b'$ и разности $a' - b'$.
3. Найти точные значения суммы $a + b$ и разности $a - b$. Для периодических дробей предварительно преобразуем их в обыкновенные.
4. Вычислить абсолютную погрешность для суммы по формуле $\Delta(a+b) = |(a+b) - (a'+b')|$ и для разности по формуле $\Delta(a-b) = |(a-b) - (a'-b')|$.

а) $a = 12,35817, b = 6,9879$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 12,36$ (так как третья цифра после запятой $8 \ge 5$)

$b \approx 6,99$ (так как третья цифра после запятой $7 \ge 5$)

Обозначим $a' = 12,36$ и $b' = 6,99$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 12,36 + 6,99 = 19,35$

$a' - b' = 12,36 - 6,99 = 5,37$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 12,35817 + 6,9879 = 19,34607$

$a - b = 12,35817 - 6,9879 = 5,37027$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |(a+b) - (a'+b')| = |19,34607 - 19,35| = |-0,00393| = 0,00393$

Для разности: $\Delta(a-b) = |(a-b) - (a'-b')| = |5,37027 - 5,37| = |0,00027| = 0,00027$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 19,35$ с абсолютной погрешностью $0,00393$; приближенная разность $a-b \approx 5,37$ с абсолютной погрешностью $0,00027$.

б) $a = 7,1723, b = 0,8192$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 7,17$ (так как $2 < 5$)

$b \approx 0,82$ (так как $9 \ge 5$)

Обозначим $a' = 7,17$ и $b' = 0,82$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 7,17 + 0,82 = 7,99$

$a' - b' = 7,17 - 0,82 = 6,35$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 7,1723 + 0,8192 = 7,9915$

$a - b = 7,1723 - 0,8192 = 6,3531$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |7,9915 - 7,99| = |0,0015| = 0,0015$

Для разности: $\Delta(a-b) = |6,3531 - 6,35| = |0,0031| = 0,0031$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 7,99$ с абсолютной погрешностью $0,0015$; приближенная разность $a-b \approx 6,35$ с абсолютной погрешностью $0,0031$.

в) $a = 11,1429, b = 3,2872$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 11,14$ (так как $2 < 5$)

$b \approx 3,29$ (так как $7 \ge 5$)

Обозначим $a' = 11,14$ и $b' = 3,29$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 11,14 + 3,29 = 14,43$

$a' - b' = 11,14 - 3,29 = 7,85$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 11,1429 + 3,2872 = 14,4301$

$a - b = 11,1429 - 3,2872 = 7,8557$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |14,4301 - 14,43| = |0,0001| = 0,0001$

Для разности: $\Delta(a-b) = |7,8557 - 7,85| = |0,0057| = 0,0057$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 14,43$ с абсолютной погрешностью $0,0001$; приближенная разность $a-b \approx 7,85$ с абсолютной погрешностью $0,0057$.

г) $a = -3,12(27), b = 1,22(891)$

1. Преобразуем периодические дроби в обыкновенные:

$a = -3,12(27) = -(3 + \frac{1227-12}{9900}) = -(3 + \frac{1215}{9900}) = -(3 + \frac{27}{220}) = -\frac{687}{220}$

$b = 1,22(891) = 1 + \frac{22891-22}{99900} = 1 + \frac{22869}{99900} = 1 + \frac{847}{3700} = \frac{4547}{3700}$

2. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a = -3,1227... \approx -3,12$ (так как $2 < 5$)

$b = 1,22891... \approx 1,23$ (так как $8 \ge 5$)

Обозначим $a' = -3,12$ и $b' = 1,23$.

3. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = -3,12 + 1,23 = -1,89$

$a' - b' = -3,12 - 1,23 = -4,35$

4. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = -\frac{687}{220} + \frac{4547}{3700} = \frac{-687 \cdot 185 + 4547 \cdot 11}{40700} = \frac{-127095 + 50017}{40700} = -\frac{77078}{40700} = -\frac{38539}{20350}$

$a - b = -\frac{687}{220} - \frac{4547}{3700} = \frac{-127095 - 50017}{40700} = -\frac{177112}{40700} = -\frac{44278}{10175}$

5. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |-\frac{38539}{20350} - (-1,89)| = |-\frac{38539}{20350} + \frac{189}{100}| = |\frac{-38539 \cdot 2 + 189 \cdot 407}{40700}| = |\frac{-77078 + 76923}{40700}| = |-\frac{155}{40700}| = \frac{31}{8140}$

Для разности: $\Delta(a-b) = |-\frac{44278}{10175} - (-4,35)| = |-\frac{44278}{10175} + \frac{435}{100}| = |\frac{-44278 \cdot 4 + 435 \cdot 407}{40700}| = |\frac{-177112 + 177045}{40700}| = |-\frac{67}{40700}| = \frac{67}{40700}$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx -1,89$ с абсолютной погрешностью $\frac{31}{8140} \approx 0,0038$; приближенная разность $a-b \approx -4,35$ с абсолютной погрешностью $\frac{67}{40700} \approx 0,0016$.

д) $a = 17,23(38), b = -21,(136)$

1. Преобразуем периодические дроби в обыкновенные:

$a = 17,23(38) = 17 + \frac{2338-23}{9900} = 17 + \frac{2315}{9900} = 17 + \frac{463}{1980} = \frac{34123}{1980}$

$b = -21,(136) = -(21 + \frac{136}{999}) = -\frac{21 \cdot 999 + 136}{999} = -\frac{20979+136}{999} = -\frac{21115}{999}$

2. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a = 17,2338... \approx 17,23$ (так как $3 < 5$)

$b = -21,1361... \approx -21,14$ (так как $6 \ge 5$)

Обозначим $a' = 17,23$ и $b' = -21,14$.

3. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 17,23 + (-21,14) = -3,91$

$a' - b' = 17,23 - (-21,14) = 38,37$

4. Находим точные значения суммы и разности (НОК(1980, 999) = 219780):

$a + b = \frac{34123}{1980} - \frac{21115}{999} = \frac{34123 \cdot 111 - 21115 \cdot 220}{219780} = \frac{3787653 - 4645300}{219780} = -\frac{857647}{219780}$

$a - b = \frac{34123}{1980} + \frac{21115}{999} = \frac{3787653 + 4645300}{219780} = \frac{8432953}{219780}$

5. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |-\frac{857647}{219780} - (-3,91)| = |-\frac{857647}{219780} + \frac{391}{100}| = |\frac{-857647 \cdot 5 + 391 \cdot 10989}{1098900}| = |\frac{-4288235 + 4296699}{1098900}| = \frac{8464}{1098900} = \frac{2116}{274725}$

Для разности: $\Delta(a-b) = |\frac{8432953}{219780} - 38,37| = |\frac{8432953}{219780} - \frac{3837}{100}| = |\frac{8432953 \cdot 5 - 3837 \cdot 10989}{1098900}| = |\frac{42164765 - 42164793}{1098900}| = |-\frac{28}{1098900}| = \frac{7}{274725}$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx -3,91$ с абсолютной погрешностью $\frac{2116}{274725} \approx 0,0077$; приближенная разность $a-b \approx 38,37$ с абсолютной погрешностью $\frac{7}{274725} \approx 0,000025$.

707. Найдите с абсолютной погрешностью не более $0,01$ сумму и разность чисел:

a) $a = 3,1567, b = 2,0921$;

б) $a = 17,3281, b = -2,9856$;

в) $a = -7,0003, b = -2,9812$.

Чтобы найти сумму и разность чисел с абсолютной погрешностью не более 0,01, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить точное значение суммы и разности.
2. Округлить полученные результаты до такого разряда, чтобы погрешность округления была не более 0,01.

При округлении числа до сотых (до второго знака после запятой), абсолютная погрешность округления не превышает 0,005. Так как $0,005 \le 0,01$, мы будем округлять результаты до сотых.

а) $a = 3,1567$, $b = 2,0921$

Сумма:
Находим точное значение суммы: $a + b = 3,1567 + 2,0921 = 5,2488$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 8 (что больше 5), поэтому увеличиваем предыдущую цифру на 1: $5,2488 \approx 5,25$.
Проверим погрешность: $|5,2488 - 5,25| = |-0,0012| = 0,0012 \le 0,01$.

Разность:
Находим точное значение разности: $a - b = 3,1567 - 2,0921 = 1,0646$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 4 (что меньше 5), поэтому оставляем предыдущую цифру без изменений: $1,0646 \approx 1,06$.
Проверим погрешность: $|1,0646 - 1,06| = 0,0046 \le 0,01$.

Ответ: сумма $\approx 5,25$; разность $\approx 1,06$.

б) $a = 17,3281$, $b = -2,9856$

Сумма:
Находим точное значение суммы: $a + b = 17,3281 + (-2,9856) = 17,3281 - 2,9856 = 14,3425$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 2, поэтому оставляем предыдущую цифру без изменений: $14,3425 \approx 14,34$.
Проверим погрешность: $|14,3425 - 14,34| = 0,0025 \le 0,01$.

Разность:
Находим точное значение разности: $a - b = 17,3281 - (-2,9856) = 17,3281 + 2,9856 = 20,3137$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 3, поэтому оставляем предыдущую цифру без изменений: $20,3137 \approx 20,31$.
Проверим погрешность: $|20,3137 - 20,31| = 0,0037 \le 0,01$.

Ответ: сумма $\approx 14,34$; разность $\approx 20,31$.

в) $a = -7,0003$, $b = -2,9812$

Сумма:
Находим точное значение суммы: $a + b = -7,0003 + (-2,9812) = -9,9815$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 1, поэтому оставляем предыдущую цифру без изменений: $-9,9815 \approx -9,98$.
Проверим погрешность: $|-9,9815 - (-9,98)| = |-0,0015| = 0,0015 \le 0,01$.

Разность:
Находим точное значение разности: $a - b = -7,0003 - (-2,9812) = -7,0003 + 2,9812 = -4,0191$.
Округляем результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 9, поэтому увеличиваем предыдущую цифру на 1: $-4,0191 \approx -4,02$.
Проверим погрешность: $|-4,0191 - (-4,02)| = |0,0009| = 0,0009 \le 0,01$.

Ответ: сумма $\approx -9,98$; разность $\approx -4,02$.

708. a) Как оценивают абсолютную погрешность приближения суммы нескольких слагаемых?

б) Если требуется найти приближённо сумму 20 дробей с абсолютной погрешностью не более 0,01, то как лучше их округлить?

а)

Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых оценивается на основе следующего правила: абсолютная погрешность суммы не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых.

Пусть у нас есть точная сумма $S = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ и ее приближенное значение $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, где $a_i$ — это приближенные значения слагаемых $x_i$.

Абсолютная погрешность каждого слагаемого определяется как $\Delta_{a_i} = |x_i - a_i|$.

Абсолютная погрешность суммы $\Delta_A$ равна модулю разности между точной и приближенной суммами: $\Delta_A = |S - A| = |(x_1 + x_2 + \dots + x_n) - (a_1 + a_2 + \dots + a_n)|$

Сгруппировав слагаемые, получим: $\Delta_A = |(x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) + \dots + (x_n - a_n)|$

Используя свойство модуля (неравенство треугольника), которое гласит, что модуль суммы не превышает сумму модулей ($|a+b| \le |a|+|b|$), мы можем оценить верхнюю границу для погрешности суммы: $\Delta_A \le |x_1 - a_1| + |x_2 - a_2| + \dots + |x_n - a_n|$

Таким образом, получаем итоговую формулу для оценки абсолютной погрешности суммы: $\Delta_A \le \Delta_{a_1} + \Delta_{a_2} + \dots + \Delta_{a_n}$

На практике часто работают с предельными абсолютными погрешностями (границами погрешностей). Если для каждого слагаемого известна его предельная абсолютная погрешность $\varepsilon_i$ (то есть, $\Delta_{a_i} \le \varepsilon_i$), то предельная абсолютная погрешность суммы $\varepsilon_A$ оценивается как сумма предельных погрешностей слагаемых: $\varepsilon_A = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \dots + \varepsilon_n$

Ответ: Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых оценивается как сумма абсолютных погрешностей этих слагаемых. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

б)

Нам нужно найти приближенную сумму $n=20$ дробей. Требуется, чтобы абсолютная погрешность итоговой суммы $\varepsilon_S$ не превышала $0,01$. $\varepsilon_S \le 0,01$

Согласно правилу, разобранному в пункте а), общая погрешность суммы равна сумме погрешностей каждого слагаемого. Чтобы упростить задачу, будем округлять все дроби с одинаковой точностью. Пусть предельная абсолютная погрешность при округлении каждой дроби равна $\varepsilon$. Тогда общая предельная погрешность суммы будет равна: $\varepsilon_S = \sum_{i=1}^{20} \varepsilon = 20 \cdot \varepsilon$

Подставим это в наше неравенство: $20 \cdot \varepsilon \le 0,01$

Отсюда найдем требуемую предельную погрешность для округления каждой дроби: $\varepsilon \le \frac{0,01}{20} = \frac{1/100}{20} = \frac{1}{2000} = 0,0005$

Теперь нужно определить, до какого десятичного знака следует округлять числа, чтобы погрешность округления не превышала $0,0005$. Погрешность при округлении до $k$-го знака после запятой не превышает половины единицы этого разряда, то есть $0,5 \cdot 10^{-k}$.

• При округлении до сотых ($k=2$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-2} = 0,005$. Это больше, чем $0,0005$, поэтому такой точности недостаточно. Суммарная погрешность может достигнуть $20 \cdot 0,005 = 0,1$, что превышает требуемое значение $0,01$.
• При округлении до тысячных ($k=3$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-3} = 0,0005$. Это удовлетворяет нашему условию $\varepsilon \le 0,0005$. Суммарная погрешность в этом случае не превысит $20 \cdot 0,0005 = 0,01$.
• При округлении до десятитысячных ($k=4$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-4} = 0,00005$. Это также удовлетворяет условию, но является избыточно точным и потребует больше вычислений.

Таким образом, "лучше всего" (т.е. с минимально необходимой точностью) округлить каждую из 20 дробей до третьего знака после запятой (до тысячных).

Ответ: Каждую дробь лучше округлить до тысячных (до трех знаков после запятой).

709. У чисел $7,178219$; $9,000017$; $11,532478$; $0,543712$ оставьте три знака после запятой с округлением. Оцените абсолютную погрешность суммы полученных таким округлением чисел.

Округление чисел до трех знаков после запятой

Для округления десятичной дроби до определенного разряда необходимо посмотреть на следующую за этим разрядом цифру. Если она равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Если же она меньше 5, то цифра в округляемом разряде остается без изменений, а все последующие цифры отбрасываются.

- Для числа 7,178219: четвертая цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 7,178.
- Для числа 9,000017: четвертая цифра после запятой — 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 9,000.
- Для числа 11,532478: четвертая цифра после запятой — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 11,532.
- Для числа 0,543712: четвертая цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 0,544.

Ответ: 7,178; 9,000; 11,532; 0,544.

Оценка абсолютной погрешности суммы

Абсолютная погрешность округления — это модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением. При округлении до $n$-го знака после запятой (в нашем случае $n=3$, т.е. до тысячных) абсолютная погрешность округления каждого числа не превосходит половины единицы этого разряда.

Единица последнего сохраняемого разряда равна 0,001. Предельная абсолютная погрешность для одного округления ($\Delta_{max}$) составляет:
$\Delta_{max} = \frac{1}{2} \cdot 0,001 = 0,0005$

Абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Поскольку мы складываем четыре числа, предельная абсолютная погрешность их суммы ($\Delta_{\Sigma}$) оценивается так:
$\Delta_{\Sigma} \le \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4 \le 4 \cdot \Delta_{max}$

Вычислим оценку погрешности суммы:
$\Delta_{\Sigma} \le 4 \cdot 0,0005 = 0,002$

Ответ: Абсолютная погрешность суммы полученных округлением чисел не превышает 0,002.

710. Какое округление чисел 0,378561; 2,235622; 3,789012; 4,251617 необходимо провести, чтобы их сумма была получена на с абсолютной погрешностью не более $0,1$? Выполните сложение данных чисел приближённо с точностью до $0,1$.

Какое округление чисел 0,378561; 2,235622; 3,789012; 4,251617 необходимо провести, чтобы их сумма была получена с абсолютной погрешностью не более 0,1?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством погрешности суммы. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не превышает сумму абсолютных погрешностей слагаемых.

Пусть $\Delta_{\Sigma}$ - абсолютная погрешность суммы, а $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ - абсолютные погрешности каждого из четырех слагаемых. Тогда справедливо неравенство:

$\Delta_{\Sigma} \le \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4$

По условию, погрешность суммы не должна превышать 0,1, то есть $\Delta_{\Sigma} \le 0,1$.

Чтобы гарантировать выполнение этого условия, будем округлять все числа с одинаковой точностью. Пусть максимальная абсолютная погрешность округления каждого числа равна $\varepsilon$. Тогда $\Delta_i \le \varepsilon$ для каждого $i=1, 2, 3, 4$. Следовательно, погрешность суммы будет не более $4\varepsilon$:

$\Delta_{\Sigma} \le 4\varepsilon$

Нам нужно, чтобы $4\varepsilon \le 0,1$, откуда $\varepsilon \le \frac{0,1}{4}$, то есть $\varepsilon \le 0,025$.

Теперь определим, до какого разряда нужно округлить числа, чтобы погрешность округления каждого из них не превышала 0,025. При округлении числа до некоторого разряда, абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда.

• При округлении до десятых (до 0,1), погрешность $\le \frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,05$. Это больше, чем 0,025 ($0,05 > 0,025$). Такое округление не подходит.
• При округлении до сотых (до 0,01), погрешность $\le \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 0,005$. Это меньше, чем 0,025 ($0,005 \le 0,025$). Такое округление подходит.

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность суммы не превышала 0,1, необходимо каждое из чисел округлить до сотых.

Ответ: Числа необходимо округлить до сотых.

Выполните сложение данных чисел приближённо с точностью до 0,1.

Для выполнения сложения с заданной точностью (до 0,1, т.е. до десятых) слагаемые нужно предварительно округлить до разряда, следующего за требуемым, то есть до сотых. Это обеспечивает наличие "запасного" знака для более точного итогового округления. Этот вывод согласуется с решением предыдущей части задачи.

Округлим каждое число до сотых:

• $0,378561 \approx 0,38$
• $2,235622 \approx 2,24$
• $3,789012 \approx 3,79$
• $4,251617 \approx 4,25$

Теперь сложим полученные приближенные значения:

$0,38 + 2,24 + 3,79 + 4,25 = 10,66$

Полученная сумма $10,66$ содержит "запасной" знак (сотые). Чтобы получить итоговый ответ с точностью до 0,1, необходимо округлить эту сумму до десятых.

$10,66 \approx 10,7$

Ответ: $10,7$.