Номер 706, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

706. Найдите приближённо $a + b$ и $a - b$, приближая $a$ и $b$ до сотых с округлением. Определите абсолютную погрешность приближения $a + b$ и $a - b$, если:

а) $a = 12,35817, b = 6,9879;$

б) $a = 7,1723, b = 0,8192;$

в) $a = 11,1429, b = 3,2872;$

г) $a = -3,12\overline{27}, b = 1,22\overline{891};$

д) $a = 17,23\overline{38}, b = -21,\overline{136}.$

Общий план решения для каждого пункта:

1. Округлить числа $a$ и $b$ до сотых (до второго знака после запятой). Обозначим приближенные значения как $a'$ и $b'$.
2. Найти приближенные значения суммы $a' + b'$ и разности $a' - b'$.
3. Найти точные значения суммы $a + b$ и разности $a - b$. Для периодических дробей предварительно преобразуем их в обыкновенные.
4. Вычислить абсолютную погрешность для суммы по формуле $\Delta(a+b) = |(a+b) - (a'+b')|$ и для разности по формуле $\Delta(a-b) = |(a-b) - (a'-b')|$.

а) $a = 12,35817, b = 6,9879$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 12,36$ (так как третья цифра после запятой $8 \ge 5$)

$b \approx 6,99$ (так как третья цифра после запятой $7 \ge 5$)

Обозначим $a' = 12,36$ и $b' = 6,99$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 12,36 + 6,99 = 19,35$

$a' - b' = 12,36 - 6,99 = 5,37$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 12,35817 + 6,9879 = 19,34607$

$a - b = 12,35817 - 6,9879 = 5,37027$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |(a+b) - (a'+b')| = |19,34607 - 19,35| = |-0,00393| = 0,00393$

Для разности: $\Delta(a-b) = |(a-b) - (a'-b')| = |5,37027 - 5,37| = |0,00027| = 0,00027$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 19,35$ с абсолютной погрешностью $0,00393$; приближенная разность $a-b \approx 5,37$ с абсолютной погрешностью $0,00027$.

б) $a = 7,1723, b = 0,8192$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 7,17$ (так как $2 < 5$)

$b \approx 0,82$ (так как $9 \ge 5$)

Обозначим $a' = 7,17$ и $b' = 0,82$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 7,17 + 0,82 = 7,99$

$a' - b' = 7,17 - 0,82 = 6,35$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 7,1723 + 0,8192 = 7,9915$

$a - b = 7,1723 - 0,8192 = 6,3531$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |7,9915 - 7,99| = |0,0015| = 0,0015$

Для разности: $\Delta(a-b) = |6,3531 - 6,35| = |0,0031| = 0,0031$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 7,99$ с абсолютной погрешностью $0,0015$; приближенная разность $a-b \approx 6,35$ с абсолютной погрешностью $0,0031$.

в) $a = 11,1429, b = 3,2872$

1. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a \approx 11,14$ (так как $2 < 5$)

$b \approx 3,29$ (так как $7 \ge 5$)

Обозначим $a' = 11,14$ и $b' = 3,29$.

2. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 11,14 + 3,29 = 14,43$

$a' - b' = 11,14 - 3,29 = 7,85$

3. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = 11,1429 + 3,2872 = 14,4301$

$a - b = 11,1429 - 3,2872 = 7,8557$

4. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |14,4301 - 14,43| = |0,0001| = 0,0001$

Для разности: $\Delta(a-b) = |7,8557 - 7,85| = |0,0057| = 0,0057$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx 14,43$ с абсолютной погрешностью $0,0001$; приближенная разность $a-b \approx 7,85$ с абсолютной погрешностью $0,0057$.

г) $a = -3,12(27), b = 1,22(891)$

1. Преобразуем периодические дроби в обыкновенные:

$a = -3,12(27) = -(3 + \frac{1227-12}{9900}) = -(3 + \frac{1215}{9900}) = -(3 + \frac{27}{220}) = -\frac{687}{220}$

$b = 1,22(891) = 1 + \frac{22891-22}{99900} = 1 + \frac{22869}{99900} = 1 + \frac{847}{3700} = \frac{4547}{3700}$

2. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a = -3,1227... \approx -3,12$ (так как $2 < 5$)

$b = 1,22891... \approx 1,23$ (так как $8 \ge 5$)

Обозначим $a' = -3,12$ и $b' = 1,23$.

3. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = -3,12 + 1,23 = -1,89$

$a' - b' = -3,12 - 1,23 = -4,35$

4. Находим точные значения суммы и разности:

$a + b = -\frac{687}{220} + \frac{4547}{3700} = \frac{-687 \cdot 185 + 4547 \cdot 11}{40700} = \frac{-127095 + 50017}{40700} = -\frac{77078}{40700} = -\frac{38539}{20350}$

$a - b = -\frac{687}{220} - \frac{4547}{3700} = \frac{-127095 - 50017}{40700} = -\frac{177112}{40700} = -\frac{44278}{10175}$

5. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |-\frac{38539}{20350} - (-1,89)| = |-\frac{38539}{20350} + \frac{189}{100}| = |\frac{-38539 \cdot 2 + 189 \cdot 407}{40700}| = |\frac{-77078 + 76923}{40700}| = |-\frac{155}{40700}| = \frac{31}{8140}$

Для разности: $\Delta(a-b) = |-\frac{44278}{10175} - (-4,35)| = |-\frac{44278}{10175} + \frac{435}{100}| = |\frac{-44278 \cdot 4 + 435 \cdot 407}{40700}| = |\frac{-177112 + 177045}{40700}| = |-\frac{67}{40700}| = \frac{67}{40700}$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx -1,89$ с абсолютной погрешностью $\frac{31}{8140} \approx 0,0038$; приближенная разность $a-b \approx -4,35$ с абсолютной погрешностью $\frac{67}{40700} \approx 0,0016$.

д) $a = 17,23(38), b = -21,(136)$

1. Преобразуем периодические дроби в обыкновенные:

$a = 17,23(38) = 17 + \frac{2338-23}{9900} = 17 + \frac{2315}{9900} = 17 + \frac{463}{1980} = \frac{34123}{1980}$

$b = -21,(136) = -(21 + \frac{136}{999}) = -\frac{21 \cdot 999 + 136}{999} = -\frac{20979+136}{999} = -\frac{21115}{999}$

2. Округляем $a$ и $b$ до сотых:

$a = 17,2338... \approx 17,23$ (так как $3 < 5$)

$b = -21,1361... \approx -21,14$ (так как $6 \ge 5$)

Обозначим $a' = 17,23$ и $b' = -21,14$.

3. Находим приближенные значения суммы и разности:

$a' + b' = 17,23 + (-21,14) = -3,91$

$a' - b' = 17,23 - (-21,14) = 38,37$

4. Находим точные значения суммы и разности (НОК(1980, 999) = 219780):

$a + b = \frac{34123}{1980} - \frac{21115}{999} = \frac{34123 \cdot 111 - 21115 \cdot 220}{219780} = \frac{3787653 - 4645300}{219780} = -\frac{857647}{219780}$

$a - b = \frac{34123}{1980} + \frac{21115}{999} = \frac{3787653 + 4645300}{219780} = \frac{8432953}{219780}$

5. Определяем абсолютную погрешность:

Для суммы: $\Delta(a+b) = |-\frac{857647}{219780} - (-3,91)| = |-\frac{857647}{219780} + \frac{391}{100}| = |\frac{-857647 \cdot 5 + 391 \cdot 10989}{1098900}| = |\frac{-4288235 + 4296699}{1098900}| = \frac{8464}{1098900} = \frac{2116}{274725}$

Для разности: $\Delta(a-b) = |\frac{8432953}{219780} - 38,37| = |\frac{8432953}{219780} - \frac{3837}{100}| = |\frac{8432953 \cdot 5 - 3837 \cdot 10989}{1098900}| = |\frac{42164765 - 42164793}{1098900}| = |-\frac{28}{1098900}| = \frac{7}{274725}$

Ответ: приближенная сумма $a+b \approx -3,91$ с абсолютной погрешностью $\frac{2116}{274725} \approx 0,0077$; приближенная разность $a-b \approx 38,37$ с абсолютной погрешностью $\frac{7}{274725} \approx 0,000025$.