Номер 708, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

708. a) Как оценивают абсолютную погрешность приближения суммы нескольких слагаемых?

б) Если требуется найти приближённо сумму 20 дробей с абсолютной погрешностью не более 0,01, то как лучше их округлить?

а)

Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых оценивается на основе следующего правила: абсолютная погрешность суммы не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых.

Пусть у нас есть точная сумма $S = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ и ее приближенное значение $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, где $a_i$ — это приближенные значения слагаемых $x_i$.

Абсолютная погрешность каждого слагаемого определяется как $\Delta_{a_i} = |x_i - a_i|$.

Абсолютная погрешность суммы $\Delta_A$ равна модулю разности между точной и приближенной суммами: $\Delta_A = |S - A| = |(x_1 + x_2 + \dots + x_n) - (a_1 + a_2 + \dots + a_n)|$

Сгруппировав слагаемые, получим: $\Delta_A = |(x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) + \dots + (x_n - a_n)|$

Используя свойство модуля (неравенство треугольника), которое гласит, что модуль суммы не превышает сумму модулей ($|a+b| \le |a|+|b|$), мы можем оценить верхнюю границу для погрешности суммы: $\Delta_A \le |x_1 - a_1| + |x_2 - a_2| + \dots + |x_n - a_n|$

Таким образом, получаем итоговую формулу для оценки абсолютной погрешности суммы: $\Delta_A \le \Delta_{a_1} + \Delta_{a_2} + \dots + \Delta_{a_n}$

На практике часто работают с предельными абсолютными погрешностями (границами погрешностей). Если для каждого слагаемого известна его предельная абсолютная погрешность $\varepsilon_i$ (то есть, $\Delta_{a_i} \le \varepsilon_i$), то предельная абсолютная погрешность суммы $\varepsilon_A$ оценивается как сумма предельных погрешностей слагаемых: $\varepsilon_A = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \dots + \varepsilon_n$

Ответ: Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых оценивается как сумма абсолютных погрешностей этих слагаемых. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

б)

Нам нужно найти приближенную сумму $n=20$ дробей. Требуется, чтобы абсолютная погрешность итоговой суммы $\varepsilon_S$ не превышала $0,01$. $\varepsilon_S \le 0,01$

Согласно правилу, разобранному в пункте а), общая погрешность суммы равна сумме погрешностей каждого слагаемого. Чтобы упростить задачу, будем округлять все дроби с одинаковой точностью. Пусть предельная абсолютная погрешность при округлении каждой дроби равна $\varepsilon$. Тогда общая предельная погрешность суммы будет равна: $\varepsilon_S = \sum_{i=1}^{20} \varepsilon = 20 \cdot \varepsilon$

Подставим это в наше неравенство: $20 \cdot \varepsilon \le 0,01$

Отсюда найдем требуемую предельную погрешность для округления каждой дроби: $\varepsilon \le \frac{0,01}{20} = \frac{1/100}{20} = \frac{1}{2000} = 0,0005$

Теперь нужно определить, до какого десятичного знака следует округлять числа, чтобы погрешность округления не превышала $0,0005$. Погрешность при округлении до $k$-го знака после запятой не превышает половины единицы этого разряда, то есть $0,5 \cdot 10^{-k}$.

• При округлении до сотых ($k=2$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-2} = 0,005$. Это больше, чем $0,0005$, поэтому такой точности недостаточно. Суммарная погрешность может достигнуть $20 \cdot 0,005 = 0,1$, что превышает требуемое значение $0,01$.
• При округлении до тысячных ($k=3$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-3} = 0,0005$. Это удовлетворяет нашему условию $\varepsilon \le 0,0005$. Суммарная погрешность в этом случае не превысит $20 \cdot 0,0005 = 0,01$.
• При округлении до десятитысячных ($k=4$): погрешность $\le 0,5 \cdot 10^{-4} = 0,00005$. Это также удовлетворяет условию, но является избыточно точным и потребует больше вычислений.

Таким образом, "лучше всего" (т.е. с минимально необходимой точностью) округлить каждую из 20 дробей до третьего знака после запятой (до тысячных).

Ответ: Каждую дробь лучше округлить до тысячных (до трех знаков после запятой).