Номер 715, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

715. По какому правилу находят относительную погрешность приближений частного чисел?

Относительную погрешность приближенного значения частного двух чисел находят, используя правило сложения относительных погрешностей. Это правило является следствием общего подхода к оценке погрешностей функций нескольких переменных.

Пусть даны два приближенных числа $x_1$ и $y_1$, которые являются приближениями точных значений $x$ и $y$ соответственно. Пусть известны их относительные погрешности $\delta_x$ и $\delta_y$.

Относительная погрешность числа определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого числа:

$\delta_x = \frac{|x - x_1|}{|x|} \approx \frac{\Delta x}{|x_1|}$

$\delta_y = \frac{|y - y_1|}{|y|} \approx \frac{\Delta y}{|y_1|}$

Мы хотим найти относительную погрешность $\delta_z$ частного $z = x/y$, где в качестве приближенного значения частного используется $z_1 = x_1/y_1$.

Правило: Относительная погрешность частного двух приближенных чисел приближенно равна сумме их относительных погрешностей.

Математически это правило выражается формулой:

$\delta_{x/y} \approx \delta_x + \delta_y$

Это правило аналогично правилу для нахождения относительной погрешности произведения. Это связано с тем, что операция деления $x/y$ может быть представлена как произведение $x \cdot y^{-1}$. Относительная погрешность величины $y^{-1}$ равна относительной погрешности величины $y$. Поэтому, как и для произведения, относительные погрешности складываются.

Пример:

Найдем частное приближенных чисел $x_1 = 25.4$ с относительной погрешностью $\delta_x = 0.5\%$ и $y_1 = 5.2$ с относительной погрешностью $\delta_y = 1\%$.

1. Находим приближенное значение частного:

$z_1 = \frac{x_1}{y_1} = \frac{25.4}{5.2} \approx 4.88$

2. Находим относительную погрешность частного по правилу сложения:

$\delta_z \approx \delta_x + \delta_y = 0.5\% + 1\% = 1.5\%$

Таким образом, относительная погрешность результата составляет примерно $1.5\%$.

3. Мы можем также найти абсолютную погрешность результата:

$\Delta z \approx |z_1| \cdot \delta_z = 4.88 \cdot 0.015 \approx 0.0732$

Результат можно записать как $z \approx 4.88 \pm 0.07$.

Ответ: Относительную погрешность приближений частного чисел находят по правилу: относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя. Формула для этого правила: $\delta_{x/y} \approx \delta_x + \delta_y$, где $\delta_x$ и $\delta_y$ — относительные погрешности делимого и делителя соответственно.