Номер 714, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

714. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей $\frac{1}{500}$, произведение двух чисел:

a) 7,0(17) и 12,345678;

б) 0,013133133313... и 16,723561;

в) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

Для вычисления произведения $P = a \cdot b$ с относительной погрешностью $\delta_P$, меньшей $\varepsilon = \frac{1}{500} = 0.002$, мы воспользуемся свойством, что относительная погрешность произведения приблизительно равна сумме относительных погрешностей сомножителей: $\delta_P \approx \delta_a + \delta_b$. Чтобы итоговая погрешность была меньше $0.002$, мы должны выбрать приближения $a_1$ для $a$ и $b_1$ для $b$ с достаточной точностью.

Один из способов — округлить каждый сомножитель до определенного количества $k$ значащих цифр. Относительная погрешность округления до $k$ значащих цифр оценивается как $\delta \approx \frac{1}{2d \cdot 10^{k-1}}$, где $d$ — первая значащая цифра числа.Потребуем, чтобы относительная погрешность каждого сомножителя была меньше половины требуемой погрешности, т.е. $\delta_a < 0.001$ и $\delta_b < 0.001$. Тогда из оценки $\delta < \frac{1}{2 \cdot 10^{k-1}}$ (для чисел, у которых первая значащая цифра больше 1) получаем $\frac{1}{2 \cdot 10^{k-1}} < 0.001$, что дает $10^{k-1} > 500$. Так как $10^2 = 100$ и $10^3 = 1000$, то $k-1$ должно быть больше 2, но меньше 3. Точнее, $k-1 > \log_{10}(500) \approx 2.7$, следовательно, $k > 3.7$.

Таким образом, для обеспечения необходимой точности достаточно взять $k=4$ значащие цифры для каждого сомножителя.

Алгоритм вычисления:
1. Округлить каждый из сомножителей до четырех значащих цифр.
2. Перемножить полученные приближения.
3. Округлить результат до четырех значащих цифр.

а) Даны числа $7,0(17)$ и $12,345678$.
Первое число: $a = 7,0(17) = 7,01717...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 7,017$.
Второе число: $b = 12,345678$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 12,35$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 7,017 \cdot 12,35 = 86,66095$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 86,66$.
Ответ: $86,66$.

б) Даны числа $0,01313313331...$ и $16,723561$.
Первое число: $a = 0,01313313331...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 0,01313$.
Второе число: $b = 16,723561$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 16,72$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 0,01313 \cdot 16,72 = 0,2195336$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 0,2195$.
Ответ: $0,2195$.

в) Даны числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.
Первое число: $a = \sqrt{2} \approx 1,41421...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 1,414$.
Второе число: $b = \sqrt{3} \approx 1,73205...$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 1,732$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 1,414 \cdot 1,732 = 2,449048$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 2,449$.
Ответ: $2,449$.

г) Даны числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.
Первое число: $a = \sqrt{5} \approx 2,23606...$. Округляем до 4 значащих цифр: $a_1 = 2,236$.
Второе число: $b = \sqrt{7} \approx 2,64575...$. Округляем до 4 значащих цифр: $b_1 = 2,646$.
Произведение приближений: $P_1 = a_1 \cdot b_1 = 2,236 \cdot 2,646 = 5,916216$.
Округляем результат до 4 значащих цифр: $P \approx 5,916$.
Ответ: $5,916$.