Страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

716. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей $0,01$, частное двух чисел:

а) $0,12345678...$ и $2,\overline{17}$;

б) $12,3\overline{4}$ и $0,015639$;

в) $123,567$ и $0,13\overline{7}$;

г) $4,\overline{567}$ и $31,5\overline{32}$.

Чтобы вычислить частное двух чисел с относительной погрешностью, меньшей 0,01, мы воспользуемся правилом сложения относительных погрешностей. Относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $\delta_{a/b} \approx \delta_a + \delta_b$.

Чтобы итоговая относительная погрешность была меньше 0,01, мы должны подобрать приближения для делимого $a$ и делителя $b$ так, чтобы сумма их относительных погрешностей была меньше 0,01. Относительная погрешность числа, округленного до $n$ значащих цифр, в большинстве случаев будет меньше 0,005, если $n=3$. Таким образом, если мы округлим оба числа до 3 значащих цифр, суммарная погрешность частного будет меньше $0,005 + 0,005 = 0,01$.

Алгоритм решения для каждой задачи будет следующим:

1. Округлить делимое и делитель до трех значащих цифр.
2. Разделить полученные приближения.
3. Округлить результат также до трех значащих цифр, поскольку точность результата определяется точностью исходных данных.

а)

Даны числа $a = 0,12345678...$ и $b = 2,(17)$.

1. Округляем число $a$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 0,123$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 2,171717...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 2, 1, 7. Следующая цифра — 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 2,17$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{0,123}{2,17} \approx 0,056682...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 5, 6, 6. Следующая цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.

Ответ: $0,0567$.

б)

Даны числа $a = 12,3(4)$ и $b = 0,015639$.

1. Представляем число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 12,3444...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 12,3$.

2. Округляем число $b$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 5, 6. Следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 0,0156$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{12,3}{0,0156} \approx 788,4615...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 7, 8, 8. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $788$.

в)

Даны числа $a = 123,567$ и $b = 0,13(7)$.

1. Округляем число $a$ до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 2, 3. Следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону: $a \approx 124$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 0,13777...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 3, 7. Следующая цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $b \approx 0,138$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{124}{0,138} \approx 898,5507...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 8, 9, 8. Следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону.

Ответ: $899$.

г)

Даны числа $a = 4,(567)$ и $b = 31,5(32)$.

1. Представляем число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 4,567567...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 4, 5, 6. Следующая цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $a \approx 4,57$.

2. Представляем число $b$ в виде десятичной дроби: $b = 31,53232...$. Округляем его до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 3, 1, 5. Следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 31,5$.

3. Вычисляем частное полученных приближений: $\frac{4,57}{31,5} \approx 0,145079...$

4. Округляем результат до трех значащих цифр. Первые три значащие цифры — 1, 4, 5. Следующая цифра — 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $0,145$.

717. Вычислите приближённо с относительной погрешностью, меньшей $\frac{1}{500}$, частное двух чисел:

а) 7,9(17) и 1,234567...;

б) 12,(45) и 0,012(4);

в) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$;

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

а) 7,9(17) и 1,234567...

Обозначим числа $a = 7,9(17)$ и $b = 1,234567...$. Требуется вычислить их частное $c = a/b$ с относительной погрешностью, меньшей $\epsilon = \frac{1}{500} = 0,002$.
Относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $\delta_c \approx \delta_a + \delta_b$.
Найдем приближенные значения для $a$ и $b$.
$a = 7,9(17) = 7,91717...$
$b = 1,234567...$
Для обеспечения требуемой точности, возьмем исходные числа с четырьмя значащими цифрами.
$a_{прибл} = 7,917$. Абсолютная погрешность $\Delta a = |7,91717... - 7,917| = 0,00017...$. Относительная погрешность $\delta_a = \frac{\Delta a}{|a|} \approx \frac{0,00017}{7,917} \approx 0,000022$.
$b_{прибл} = 1,235$ (округляем $1,234567...$). Абсолютная погрешность $\Delta b = |1,234567... - 1,235| = 0,00043...$. Относительная погрешность $\delta_b = \frac{\Delta b}{|b|} \approx \frac{0,00043}{1,235} \approx 0,00035$.
Суммарная относительная погрешность исходных данных, которая перейдет в результат: $\delta_a + \delta_b \approx 0,000022 + 0,00035 = 0,000372$.
Вычислим частное приближенных значений: $c_{прибл} = \frac{a_{прибл}}{b_{прибл}} = \frac{7,917}{1,235} \approx 6,410526...$
Округлим результат до трех значащих цифр: $c_{окр} = 6,41$. Погрешность округления вносит дополнительную относительную погрешность: $\delta_{окр} = \frac{|6,4105... - 6,41|}{|6,41|} \approx \frac{0,0005}{6,41} \approx 0,000078$.
Итоговая относительная погрешность: $\delta_{итог} \approx 0,000372 + 0,000078 = 0,00045$.
Так как $0,00045 < 0,002$, полученный результат удовлетворяет условию.
Ответ: 6,41

б) 12,(45) и 0,012(4)

Обозначим числа $a = 12,(45)$ и $b = 0,012(4)$.
$a = 12,4545...$
$b = 0,012444...$
Грубая оценка частного: $c = a/b \approx 12,5 / 0,0125 = 1000$.
Возьмем приближение $a_{прибл} = 12,45$ (4 значащие цифры).
$\Delta a = |12,4545... - 12,45| = 0,0045...$. Относительная погрешность $\delta_a \approx \frac{0,0045}{12,45} \approx 0,00036$.
Для $b$ необходимо взять приближение с большей точностью, чтобы относительная погрешность была малой. Возьмем $b_{прибл} = 0,01244$ (3 значащие цифры).
$\Delta b = |0,012444... - 0,01244| = 0,0000044...$. Относительная погрешность $\delta_b \approx \frac{0,0000044}{0,01244} \approx 0,00035$.
Суммарная относительная погрешность: $\delta_a + \delta_b \approx 0,00036 + 0,00035 = 0,00071$.
Вычислим частное: $c_{прибл} = \frac{12,45}{0,01244} \approx 1000,8038...$
Абсолютная погрешность результата, унаследованная от исходных данных: $\Delta c_{унасл} \approx |c_{прибл}| \cdot (\delta_a + \delta_b) \approx 1000,8 \cdot 0,00071 \approx 0,71$.
Округлим результат до четырех значащих цифр (до целых): $c_{окр} = 1001$.
Абсолютная погрешность округления: $\Delta c_{окр} = |1000,8038... - 1001| \approx 0,196$.
Полная абсолютная погрешность: $\Delta c_{итог} = \Delta c_{унасл} + \Delta c_{окр} \approx 0,71 + 0,196 = 0,906$.
Итоговая относительная погрешность: $\delta_{итог} = \frac{\Delta c_{итог}}{|c_{окр}|} \approx \frac{0,906}{1001} \approx 0,0009$.
Так как $0,0009 < 0,002$, результат корректен.
Ответ: 1001

в) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$

Обозначим числа $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{2}$. Требуется найти $c = a/b = \sqrt{3/2} = \sqrt{1,5}$.
$a = \sqrt{3} \approx 1,73205...$
$b = \sqrt{2} \approx 1,41421...$
Возьмем приближенные значения с четырьмя значащими цифрами.
$a_{прибл} = 1,732$. $\Delta a = |\sqrt{3} - 1,732| \approx 0,00005$. $\delta_a \approx \frac{0,00005}{1,732} \approx 0,000029$.
$b_{прибл} = 1,414$. $\Delta b = |\sqrt{2} - 1,414| \approx 0,00021$. $\delta_b \approx \frac{0,00021}{1,414} \approx 0,00015$.
Суммарная относительная погрешность $\delta_a + \delta_b \approx 0,000029 + 0,00015 = 0,000179$.
Вычислим частное: $c_{прибл} = \frac{1,732}{1,414} \approx 1,22489...$
Округлим результат до четырех значащих цифр: $c_{окр} = 1,225$.
Дополнительная относительная погрешность от округления: $\delta_{окр} = \frac{|1,22489... - 1,225|}{|1,225|} \approx \frac{0,00011}{1,225} \approx 0,00009$.
Итоговая относительная погрешность: $\delta_{итог} \approx 0,000179 + 0,00009 \approx 0,00027$.
Так как $0,00027 < 0,002$, результат корректен.
Ответ: 1,225

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$

Обозначим числа $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{7}$. Требуется найти $c = a/b = \sqrt{5/7}$.
$a = \sqrt{5} \approx 2,23606...$
$b = \sqrt{7} \approx 2,64575...$
Возьмем приближенные значения с четырьмя значащими цифрами.
$a_{прибл} = 2,236$. $\Delta a = |\sqrt{5} - 2,236| \approx 0,00006$. $\delta_a \approx \frac{0,00006}{2,236} \approx 0,000027$.
$b_{прибл} = 2,646$ (округляем $2,64575...$). $\Delta b = |\sqrt{7} - 2,646| \approx 0,00025$. $\delta_b \approx \frac{0,00025}{2,646} \approx 0,000094$.
Суммарная относительная погрешность $\delta_a + \delta_b \approx 0,000027 + 0,000094 = 0,000121$.
Вычислим частное: $c_{прибл} = \frac{2,236}{2,646} \approx 0,845049...$
Округлим результат до трех значащих цифр: $c_{окр} = 0,845$.
Дополнительная относительная погрешность от округления: $\delta_{окр} = \frac{|0,845049... - 0,845|}{|0,845|} \approx \frac{0,00005}{0,845} \approx 0,000059$.
Итоговая относительная погрешность: $\delta_{итог} \approx 0,000121 + 0,000059 = 0,00018$.
Так как $0,00018 < 0,002$, результат корректен.
Ответ: 0,845