Страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

803. Проведите опыт с бросанием монеты 50 раз. Вычислите относительную частоту выпаданий герба. Сравните свой результат с результатами других учащихся вашего класса.

Данная задача представляет собой практический эксперимент. Его результат является случайной величиной, поэтому для каждого исполнителя он будет своим. Ниже представлен один из возможных вариантов проведения и результатов такого эксперимента.

Проведение опыта

Эксперимент заключается в подбрасывании симметричной монеты 50 раз. Общее число испытаний (бросков) составляет $n = 50$.

В ходе каждого броска фиксируется результат: выпал «герб» или «решка». Предположим, что после 50 бросков мы получили следующий результат:

• «Герб» выпал 24 раза.
• «Решка» выпала 26 раз.

Нас интересует событие «выпадение герба». Число наступлений этого события в нашей серии испытаний равно $m = 24$.

Вычисление относительной частоты

Относительная частота события — это отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу проведённых испытаний. Она вычисляется по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где $A$ — интересующее нас событие (в данном случае — выпадение герба), $m$ — количество раз, когда событие $A$ произошло, а $n$ — общее количество испытаний.

Подставим наши данные в формулу:

$n = 50$ (общее число бросков)

$m = 24$ (число выпадений герба)

$W(\text{герб}) = \frac{24}{50}$

Для удобства представим эту дробь в виде десятичного числа:

$W(\text{герб}) = \frac{24}{50} = \frac{48}{100} = 0.48$

Сравнение своего результата с результатами других учащихся

Теоретическая вероятность выпадения герба при одном броске идеальной монеты составляет $P(\text{герб}) = \frac{1}{2} = 0.5$.

Относительная частота, полученная в ходе эксперимента ($0.48$), является экспериментальной оценкой этой вероятности. Если другие учащиеся проведут свои эксперименты, их результаты, скорее всего, будут отличаться. Например, кто-то может получить 27 гербов (частота $\frac{27}{50} = 0.54$), а кто-то — 22 герба (частота $\frac{22}{50} = 0.44$).

Это расхождение является нормальным проявлением случайности. Однако, согласно закону больших чисел, все полученные значения относительной частоты будут концентрироваться вокруг теоретической вероятности $0.5$. Если бы мы увеличили число бросков до 500 или 5000, то относительная частота с большой вероятностью оказалась бы еще ближе к $0.5$.

Таким образом, сравнивая результаты, можно сделать вывод, что несмотря на различие в конкретных числах, все они демонстрируют статистическую закономерность: относительная частота случайного события в серии испытаний стремится к его теоретической вероятности.

Ответ: В данном смоделированном эксперименте относительная частота выпадания герба при 50 бросках составила $0.48$.

804. Проведите опыт с бросанием игральной кости 60 раз. Вычислите относительную частоту каждого из событий: $A$ — «выпало 6 очков»; $B$ — «выпало чётное число очков».

Данное задание является экспериментальным, и его результат зависит от конкретных исходов бросков игральной кости. Поскольку провести реальный эксперимент невозможно, мы приведём решение на основе гипотетических, но правдоподобных данных.

Относительная частота события вычисляется по формуле $W = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число испытаний (бросков), а $m$ — число испытаний, в которых произошло данное событие. В нашем случае общее число бросков $n = 60$.

A — «выпало 6 очков»

Предположим, что в ходе 60 бросков игральной кости число 6 выпало 11 раз. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 11$.

Вычислим относительную частоту события A:

$W(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{11}{60}$

Теоретическая вероятность выпадения 6 очков равна $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0,167$. Наш результат, $W(A) = \frac{11}{60} \approx 0,183$, является одним из возможных и близок к теоретическому значению.

Ответ: относительная частота события A в данном гипотетическом эксперименте равна $\frac{11}{60}$.

B — «выпало чётное число очков»

Событию B благоприятствует выпадение чётных чисел: 2, 4 или 6. Предположим, что в ходе 60 бросков чётное число очков выпало 28 раз. Тогда число благоприятствующих исходов для события B равно $m_B = 28$.

Вычислим относительную частоту события B:

$W(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{28}{60}$

Сократив дробь, получаем:

$W(B) = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$

Теоретическая вероятность выпадения чётного числа очков равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$. Наш результат, $W(B) = \frac{7}{15} \approx 0,467$, также является одним из возможных экспериментальных значений.

Ответ: относительная частота события B в данном гипотетическом эксперименте равна $\frac{7}{15}$.