Страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

787. Иванов и Степанов входят в группу из семи студентов, имеющих одинаковые шансы получить один из двух разных призов. Какова вероятность того, что:

а) Иванов получит первый приз, а Степанов — второй;

б) Иванов и Степанов получат призы;

в) Иванов получит первый приз;

г) Иванов получит один из двух призов?

В группе 7 студентов, и разыгрывается 2 различных приза. Все студенты имеют равные шансы на получение приза. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию A.

Сначала найдем общее число исходов. Первый приз может получить любой из 7 студентов. После того как обладатель первого приза определен, второй приз может получить любой из оставшихся 6 студентов. Так как призы разные, порядок их получения важен. Таким образом, общее число способов распределить два разных приза среди семи студентов равно числу размещений из 7 элементов по 2:

$N = A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = 7 \times 6 = 42$

Итак, существует 42 равновозможных исхода распределения призов.

а) Иванов получит первый приз, а Степанов — второй;

Это один конкретный исход распределения призов: первый приз достается Иванову, а второй — Степанову. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность этого события равна:

$P(а) = \frac{m}{N} = \frac{1}{42}$

Ответ: $\frac{1}{42}$

б) Иванов и Степанов получат призы;

Это событие означает, что оба приза достанутся Иванову и Степанову. Существует два варианта, которые удовлетворяют этому условию: первый вариант — Иванов получает первый приз, а Степанов — второй; второй вариант — Степанов получает первый приз, а Иванов — второй. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 2$. Вероятность этого события равна:

$P(б) = \frac{m}{N} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}$

Ответ: $\frac{1}{21}$

в) Иванов получит первый приз;

Для наступления этого события необходимо, чтобы Иванов получил первый приз. Второй приз при этом может достаться любому из 6 оставшихся студентов. Число благоприятствующих исходов: $m = 1 \times 6 = 6$. Вероятность этого события равна:

$P(в) = \frac{m}{N} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Можно рассуждать и проще: на первый приз претендуют 7 студентов с равными шансами. Вероятность того, что его получит именно Иванов, составляет $1/7$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

г) Иванов получит один из двух призов?

Это событие можно представить как сумму двух несовместных событий: событие C (Иванов получает первый приз) и событие D (Иванов получает второй приз). Вероятность события C мы уже нашли в пункте в): $P(C) = \frac{1}{7}$.

Найдем вероятность события D. Если Иванов получает второй приз, то первый приз может получить любой из 6 других студентов. Число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m_D = 6 \times 1 = 6$. Вероятность события D:

$P(D) = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Так как события C и D несовместны (Иванов не может одновременно получить и первый, и второй приз), искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(г) = P(C) + P(D) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$

В качестве альтернативного решения можно найти вероятность противоположного события — "Иванов не получит ни одного приза". Это означает, что первый приз достается одному из 6 других студентов, а второй — одному из оставшихся 5. Число таких исходов: $m_{прот.} = 6 \times 5 = 30$. Вероятность противоположного события: $P_{прот.} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$. Тогда вероятность того, что Иванов получит хотя бы один приз, равна: $P(г) = 1 - P_{прот.} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

788. Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что в эту четвёрку:

а) попадут тузы: бубновый, пиковый, червовый и трефовый в указанном порядке;

б) попадут 4 туза (в любом порядке);

в) попадёт туз бубновый и его возьмут первым;

г) попадёт туз бубновый?

а) попадут тузы: бубновый, пиковый, червовый и трефовый в указанном порядке;

Для решения этой задачи мы рассматриваем последовательность извлечения карт. Так как важен порядок, мы вычисляем вероятность как произведение вероятностей последовательных событий.

1. Вероятность того, что первой картой будет вытянут бубновый туз, составляет $\frac{1}{36}$, поскольку в колоде 36 карт и только один бубновый туз.

2. После того как первая карта извлечена, в колоде остается 35 карт. Вероятность вытянуть пиковый туз второй картой равна $\frac{1}{35}$.

3. Затем в колоде остается 34 карты. Вероятность вытянуть червовый туз третьей картой равна $\frac{1}{34}$.

4. Наконец, в колоде остается 33 карты. Вероятность вытянуть трефовый туз четвертой картой равна $\frac{1}{33}$.

Чтобы найти вероятность того, что все эти события произойдут в указанном порядке, мы перемножаем их вероятности:

$P(A) = \frac{1}{36} \times \frac{1}{35} \times \frac{1}{34} \times \frac{1}{33} = \frac{1}{1413720}$

Другой способ — использование формулы размещений. Общее число способов вытянуть 4 карты из 36 с учетом порядка равно числу размещений $A_{36}^4$. Благоприятный исход только один.

$A_{36}^4 = 36 \times 35 \times 34 \times 33 = 1413720$

$P(A) = \frac{1}{A_{36}^4} = \frac{1}{1413720}$

Ответ: $\frac{1}{1413720}$

б) попадут 4 туза (в любом порядке);

В этом случае порядок карт не имеет значения, поэтому мы используем сочетания. Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 карты из 36.

Общее число исходов — это число сочетаний из 36 по 4, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{36}^4 = \frac{36!}{4!(36-4)!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 58905$

Благоприятный исход — это выбор 4 тузов. В колоде всего 4 туза, и нам нужно выбрать их все. Число способов сделать это равно:

$m = C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{C_4^4}{C_{36}^4} = \frac{1}{58905}$

Ответ: $\frac{1}{58905}$

в) попадёт туз бубновый и его возьмут первым;

Условие задачи состоит из двух частей: "попадёт туз бубновый" и "его возьмут первым". Это означает, что нас интересует только первая извлеченная карта. Она должна быть бубновым тузом. Что произойдет с остальными тремя картами, неважно.

В колоде 36 карт, и среди них только один бубновый туз.

Вероятность того, что первая же случайным образом взятая карта окажется бубновым тузом, равна отношению количества бубновых тузов к общему количеству карт в колоде.

$P(C) = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

г) попадёт туз бубновый?

Здесь требуется найти вероятность того, что среди 4 взятых карт окажется бубновый туз. Порядок карт не важен. Эту задачу удобно решать через нахождение вероятности противоположного события.

Противоположное событие (назовем его D') заключается в том, что среди 4 взятых карт бубнового туза нет.

1. Вероятность того, что первая карта — не бубновый туз, равна $\frac{35}{36}$ (так как 35 карт из 36 не являются бубновым тузом).

2. Если первая карта не бубновый туз, то осталось 35 карт, из них 34 — не бубновые тузы. Вероятность, что вторая карта — не бубновый туз, равна $\frac{34}{35}$.

3. Вероятность, что третья карта — не бубновый туз: $\frac{33}{34}$.

4. Вероятность, что четвертая карта — не бубновый туз: $\frac{32}{33}$.

Вероятность того, что ни одна из карт не будет бубновым тузом, равна произведению этих вероятностей:

$P(D') = \frac{35}{36} \times \frac{34}{35} \times \frac{33}{34} \times \frac{32}{33} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

Искомая вероятность P(D) — это вероятность того, что бубновый туз все-таки попадется. Она равна $1$ минус вероятность противоположного события:

$P(D) = 1 - P(D') = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

789. В лотерее предлагается угадать $n$ чисел из $k$. В какой лотерее вероятность выигрыша больше: «6 из 49» или «5 из 36»?

Чтобы определить, в какой лотерее вероятность выигрыша больше, необходимо рассчитать общее количество возможных комбинаций для каждой лотереи. Вероятность выигрыша равна отношению числа благоприятных исходов (в данном случае, только одна выигрышная комбинация) к общему числу всех возможных исходов (комбинаций). Чем меньше общее число комбинаций, тем выше вероятность выигрыша.

Общее число комбинаций (сочетаний) из $k$ элементов по $n$ рассчитывается по формуле:

$C_k^n = \frac{k!}{n!(k-n)!}$

где $k$ — общее количество чисел, из которых делается выбор, а $n$ — количество чисел, которые нужно угадать.

«6 из 49»

Для этой лотереи $k=49$ и $n=6$. Рассчитаем общее число комбинаций:

$C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполнив вычисления, получаем:

$C_{49}^6 = 13 \ 983 \ 816$

Таким образом, существует 13 983 816 возможных комбинаций. Вероятность выигрыша в этой лотерее составляет $P_1 = \frac{1}{13 \ 983 \ 816}$.

«5 из 36»

Для этой лотереи $k=36$ и $n=5$. Рассчитаем общее число комбинаций:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления. Сократим $36$ в числителе со множителями $4$ и $3$ в знаменателе, получив $3$. Сократим $35$ и $5$, получив $7$. Сократим $32$ и $2$, получив $16$. Перемножим оставшиеся числа:

$C_{36}^5 = 3 \times 7 \times 34 \times 33 \times 16 = 376 \ 992$

Таким образом, существует 376 992 возможные комбинации. Вероятность выигрыша в этой лотерее составляет $P_2 = \frac{1}{376 \ 992}$.

Теперь сравним полученные вероятности. Поскольку число возможных комбинаций в лотерее «6 из 49» (13 983 816) значительно больше, чем в лотерее «5 из 36» (376 992), вероятность выигрыша в ней соответственно меньше.

$13 \ 983 \ 816 > 376 \ 992 \implies \frac{1}{13 \ 983 \ 816} < \frac{1}{376 \ 992}$

Следовательно, вероятность выигрыша в лотерее «5 из 36» выше.

Ответ: Вероятность выигрыша больше в лотерее «5 из 36».

790. В некотором царстве, в некотором государстве разбойника приговорили к смертной казни, и он подал царю прошение о помиловании. Добрый царь, большой знаток теории вероятностей, сказал: «Доверимся случаю, пусть разбойник сам решит свою судьбу. Выдайте ему мешок с полным набором костей домино и две игральные кости. Пусть он вытащит из мешка не глядя одну кость домино или бросит две игральные кости — по своему выбору. Если полученная в этом испытании сумма очков окажется равной числу, которое он назовёт до начала испытания, то быть по сему — пусть живёт». Какой вид испытания должен выбрать разбойник и какую сумму назвать, чтобы вероятность остаться живым оказалась наибольшей?

Чтобы определить наилучшую стратегию для разбойника, необходимо вычислить максимальную вероятность выигрыша для каждого из двух предложенных испытаний, а затем сравнить эти вероятности.

Стандартный набор домино состоит из костей, на половинках которых нанесены числа от 0 до 6. Каждая кость представляет собой неупорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $0 \le i \le j \le 6$.

Общее количество костей в наборе можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) по 2:

$N_{домино} = C_{7+2-1}^2 = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$.

Таким образом, всего в мешке 28 костей домино. Это общее число равновероятных исходов.

Теперь найдем, сколько костей соответствует каждой возможной сумме очков. Сумма очков на кости $(i, j)$ равна $S = i + j$. Минимальная сумма 0 (кость 0-0), максимальная 12 (кость 6-6).

• Сумма 0: (0,0) – 1 кость. Вероятность: $P(0) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 1: (0,1) – 1 кость. Вероятность: $P(1) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 2: (0,2), (1,1) – 2 кости. Вероятность: $P(2) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 3: (0,3), (1,2) – 2 кости. Вероятность: $P(3) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 4: (0,4), (1,3), (2,2) – 3 кости. Вероятность: $P(4) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 5: (0,5), (1,4), (2,3) – 3 кости. Вероятность: $P(5) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) – 4 кости. Вероятность: $P(6) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4) – 3 кости. Вероятность: $P(7) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4) – 3 кости. Вероятность: $P(8) = \frac{3}{28}$.
• Сумма 9: (3,6), (4,5) – 2 кости. Вероятность: $P(9) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 10: (4,6), (5,5) – 2 кости. Вероятность: $P(10) = \frac{2}{28}$.
• Сумма 11: (5,6) – 1 кость. Вероятность: $P(11) = \frac{1}{28}$.
• Сумма 12: (6,6) – 1 кость. Вероятность: $P(12) = \frac{1}{28}$.

Наибольшая вероятность в этом испытании соответствует сумме очков, равной 6. Она составляет $P_{домино}(6) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.

При броске двух стандартных игральных костей (кубиков) на каждой может выпасть число очков от 1 до 6. Общее количество равновероятных исходов равно $N_{кости} = 6 \times 6 = 36$.

Найдем количество исходов для каждой возможной суммы очков. Минимальная сумма 2 (1+1), максимальная 12 (6+6).

• Сумма 2: (1,1) – 1 исход. Вероятность: $P(2) = \frac{1}{36}$.
• Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода. Вероятность: $P(3) = \frac{2}{36}$.
• Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода. Вероятность: $P(4) = \frac{3}{36}$.
• Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода. Вероятность: $P(5) = \frac{4}{36}$.
• Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов. Вероятность: $P(6) = \frac{5}{36}$.
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов. Вероятность: $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – 5 исходов. Вероятность: $P(8) = \frac{5}{36}$.
• Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) – 4 исхода. Вероятность: $P(9) = \frac{4}{36}$.
• Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) – 3 исхода. Вероятность: $P(10) = \frac{3}{36}$.
• Сумма 11: (5,6), (6,5) – 2 исхода. Вероятность: $P(11) = \frac{2}{36}$.
• Сумма 12: (6,6) – 1 исход. Вероятность: $P(12) = \frac{1}{36}$.

Наибольшая вероятность в этом испытании соответствует сумме очков, равной 7. Она составляет $P_{кости}(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь сравним максимальные вероятности выживания для каждого из испытаний:

• Максимальная вероятность при выборе домино: $P_{max\_домино} = \frac{1}{7}$.
• Максимальная вероятность при броске костей: $P_{max\_кости} = \frac{1}{6}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю 42:

$\frac{1}{7} = \frac{6}{42}$

$\frac{1}{6} = \frac{7}{42}$

Поскольку $\frac{7}{42} > \frac{6}{42}$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$.

Следовательно, вероятность остаться в живых выше, если выбрать испытание с игральными костями.

Ответ: Разбойнику следует выбрать испытание с броском двух игральных костей и назвать сумму очков, равную 7. В этом случае вероятность остаться в живых будет наибольшей и составит $\frac{1}{6}$.