Страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

784. Ваня, Маша и Петя хотят купить три билета в кино на соседние места. Какова вероятность того, что место Маши окажется посередине, если она выберет один билет из трёх случайным образом?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Обозначим три соседних места как "левое", "центральное" и "правое". Маша, Ваня и Петя покупают три билета на эти места.

1. Найдём общее число равновозможных исходов ($n$).
По условию, Маша выбирает один билет из трёх случайным образом. Это означает, что она с одинаковой вероятностью может взять любой из трёх билетов. Таким образом, общее количество вариантов выбора для Маши равно трём. $n = 3$

2. Найдём число благоприятных исходов ($m$).
Благоприятным исходом является событие, когда Маша выбирает билет на место, которое находится посередине. Среди трёх купленных билетов только один соответствует центральному месту. Следовательно, существует только один благоприятный для этого события исход. $m = 1$

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ того, что Маша выберет билет на среднее место, рассчитывается по формуле: $P = \frac{m}{n}$ Подставив найденные значения, получаем: $P = \frac{1}{3}$

Таким образом, вероятность того, что место Маши окажется посередине, равна $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

785. Три карты: валет (в), дама (д), король (к) — перемешали и положили в ряд «рубашкой» вверх. Какова вероятность того, что после переворачивания карт:

а) они окажутся в порядке ВДК;

б) на первом месте окажется Д;

в) на последнем месте окажется Д;

г) на всех трёх местах окажется Д?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. У нас есть три различные карты: валет (В), дама (Д) и король (К). Число способов, которыми можно расположить три различные карты в ряд, равно числу перестановок из трех элементов:

$N = P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Всего существует 6 возможных уникальных расположений карт. Перечислим их все:

• ВДК
• ВКД
• ДВК
• ДКВ
• КВД
• КДВ

Каждый из этих исходов является равновероятным. Вероятность любого события A вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) они окажутся в порядке ВДК;

Событие А — карты расположены в порядке ВДК. Среди всех возможных исходов есть только один, который соответствует этому условию (ВДК). Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события P(A) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) на первом месте окажется Д;

Событие B — на первом месте оказалась дама (Д). Посмотрим на список всех исходов и найдем те, которые начинаются с Д:

• ДВК
• ДКВ

Таких исходов два, следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события P(B) равна:

$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) на последнем месте окажется Д;

Событие C — на последнем месте оказалась дама (Д). Найдем в списке исходы, которые заканчиваются на Д:

• ВКД
• КВД

Таких исходов также два, значит, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события P(C) равна:

$P(C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) на всех трёх местах окажется Д?

Событие D — на всех трех местах оказалась дама (Д). Это событие невозможно, так как у нас только одна карта "дама". Нельзя одной картой занять три места одновременно. Следовательно, число благоприятных исходов для этого события $m = 0$.

Вероятность невозможного события равна нулю.

$P(D) = \frac{0}{6} = 0$

Ответ: $0$

786. Четыре карты: валет (в), дама (д), король (к), туз (Т) — перемешали и положили в ряд «рубашкой» вверх. Какова вероятность того, что после переворачивания карт:

а) они окажутся в порядке ТКДВ;

б) на первом месте окажется Т;

в) на последнем месте окажется Т?

В задаче рассматривается случайное расположение четырех различных карт: валет (В), дама (Д), король (К), туз (Т). Общее число возможных исходов равно числу перестановок из 4 элементов. Это общее число всех равновозможных уникальных последовательностей карт.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле для перестановок:$N = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.Таким образом, существует 24 различных способа разложить эти четыре карты в ряд.

а) они окажутся в порядке ТКДВ;

Событие A состоит в том, что карты выложены в строго определенном порядке: Туз, Король, Дама, Валет (ТКДВ). Такой порядок является лишь одним из 24 возможных уникальных расположений. Следовательно, число благоприятных исходов для этого события $m = 1$.Вероятность события A находится по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$.$P(A) = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$

б) на первом месте окажется Т;

Событие B состоит в том, что на первом месте в ряду оказывается Туз. Если мы зафиксируем Туз на первой позиции, то оставшиеся три карты (Король, Дама, Валет) могут быть расположены на трех оставшихся местах в любом порядке. Число способов, которыми можно расположить эти три карты, равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.Таким образом, число благоприятных исходов $m = 6$.Вероятность события B равна:$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) на последнем месте окажется Т?

Событие C состоит в том, что на последнем, четвертом, месте в ряду оказывается Туз. Этот случай аналогичен предыдущему. Если мы зафиксируем Туз на последней позиции, то на первых трех местах могут в любом порядке располагаться оставшиеся три карты. Число перестановок для этих трех карт также равно $3! = 6$.Следовательно, число благоприятных исходов $m = 6$.Вероятность события C равна:$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.Можно рассуждать и иначе: поскольку все позиции равноправны, вероятность того, что Туз окажется на любом конкретном месте (первом, втором, третьем или четвертом), одинакова и равна $1/4$.
Ответ: $\frac{1}{4}$