Страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

776. a) Какие опыты называют случайными опытами? Приведите пример.

б) В каком случае говорят, что у данного опыта имеется $n$ равновозможных исходов? Приведите пример.

в) Какое событие называют невозможным событием? Приведите пример.

г) Какое событие называют достоверным событием? Приведите пример.

д) Вы выпускаете яблоко из рук. Каким событием — невозможным или достоверным — является событие: $A$ — «яблоко упало вниз»; $B$ — «яблоко упало вверх»?

а) Случайными опытами (или случайными экспериментами) называют такие опыты, результаты которых невозможно предсказать заранее с полной уверенностью, даже если условия проведения опыта остаются неизменными. При этом известен полный перечень всех возможных результатов (исходов), но какой из них произойдет в конкретном случае, заранее неизвестно.

Пример: подбрасывание симметричной монеты. Мы знаем, что возможны два исхода — «орел» или «решка», но до броска не можем сказать, какой именно результат будет получен. Другим примером является бросок игрального кубика.

Ответ: Случайный опыт — это опыт, исход которого невозможно точно предсказать. Пример: подбрасывание монеты.

б) Говорят, что у данного опыта имеется $n$ равновозможных исходов, если по условиям опыта нет никаких оснований считать, что какой-либо один из исходов является более вероятным, чем другие. То есть все исходы имеют равные шансы на осуществление. Это часто подразумевает использование симметричных, «честных» объектов для эксперимента.

Пример: бросок правильного (симметричного) игрального кубика. У этого опыта есть 6 исходов (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6). Так как кубик правильный, все исходы считаются равновозможными. В данном случае $n=6$.

Ответ: У опыта имеется $n$ равновозможных исходов, если все исходы имеют одинаковые шансы произойти. Пример: бросок правильной игральной кости, у которой 6 равновозможных исходов.

в) Невозможным событием называют такое событие, которое в рамках данного опыта не может произойти ни при каких обстоятельствах. Вероятность невозможного события всегда равна 0.

Пример: при броске обычного шестигранного игрального кубика событие «выпало 7 очков» является невозможным, так как на гранях кубика есть числа только от 1 до 6.

Ответ: Невозможное событие — это событие, которое не может случиться в данном опыте. Пример: вытащить черный шар из урны, где лежат только белые шары.

г) Достоверным событием называют такое событие, которое в рамках данного опыта произойдет обязательно, со стопроцентной гарантией. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

Пример: при броске обычного шестигранного игрального кубика событие «выпало число очков, меньшее 7» является достоверным, потому что любой возможный результат (1, 2, 3, 4, 5, 6) удовлетворяет этому условию.

Ответ: Достоверное событие — это событие, которое обязательно случится в данном опыте. Пример: при извлечении шара из урны с белыми шарами будет вытащен белый шар.

д) Анализ этих событий основывается на фундаментальном законе физики — законе всемирного тяготения.

Событие A: «яблоко упало вниз». В обычных условиях на Земле на любое тело, включая яблоко, действует сила тяжести, направленная вниз. Если выпустить яблоко из рук, оно под действием этой силы обязательно упадет вниз. Следовательно, это событие является достоверным.

Событие B: «яблоко упало вверх». Это событие противоречит закону всемирного тяготения. Чтобы яблоко двигалось вверх, на него должна подействовать сила, направленная вверх (например, его нужно подбросить). Само по себе, будучи выпущенным из рук, оно вверх не полетит. Следовательно, это событие является невозможным.

Ответ: Событие A («яблоко упало вниз») является достоверным, а событие B («яблоко упало вверх») — невозможным.

777. В опыте бросают игральный кубик. Каким событием — достоверным или невозможным — является:

а) выпадение или чётного, или нечётного числа очков;

б) выпадение 7 очков?

Для решения задачи проанализируем каждое событие в контексте опыта — броска стандартного игрального кубика. У такого кубика 6 граней с числами от 1 до 6. Таким образом, множество всех возможных исходов $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Нам нужно определить, является ли каждое событие достоверным (то есть, происходит всегда, вероятность равна 1) или невозможным (то есть, не может произойти никогда, вероятность равна 0).

а) выпадение или чётного, или нечётного числа очков;

Любое целое число является либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим все возможные исходы броска кубика:
Чётные числа, которые могут выпасть: $\{2, 4, 6\}$.
Нечётные числа, которые могут выпасть: $\{1, 3, 5\}$.
Событие "выпадет чётное или нечётное число" означает, что результат будет принадлежать объединению этих двух множеств, то есть $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Это множество совпадает с множеством всех возможных исходов $S$.
Таким образом, какой бы результат ни выпал при броске, он будет либо чётным, либо нечётным. Это событие произойдет с необходимостью.
Следовательно, это достоверное событие.
Ответ: достоверное событие.

б) выпадение 7 очков?

Множество всех возможных исходов при броске стандартного кубика — $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Наибольшее возможное число очков, которое может выпасть, — 6.
Поскольку число 7 не входит в множество возможных исходов ($7 \notin S$), выпадение 7 очков является событием, которое не может произойти в данном опыте.
Следовательно, это невозможное событие.
Ответ: невозможное событие.

778. В опыте бросают игральный кубик. Сколько всего исходов в этом опыте? Сколько исходов благоприятствует событию:

a) $A$ – «выпало 3 очка»;

б) $B$ – «выпало чётное число очков»;

в) $C$ – «выпало нечётное число очков»;

г) $D$ – «выпало или чётное, или нечётное число очков»?

Какие исходы благоприятствуют каждому из событий $A$, $B$, $C$, $D$? Какие из событий $A$, $B$, $C$, $D$ являются элементарными событиями?

В опыте с бросанием игрального кубика всего 6 возможных исходов, так как у кубика 6 граней с числами от 1 до 6. Множество всех исходов: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

а) A — «выпало 3 очка»

Событию A благоприятствует только один исход, когда на кубике выпадает грань с числом 3.
Ответ: 1 исход.

б) B — «выпало чётное число очков»

Событию B благоприятствуют исходы, при которых выпадает чётное число. На игральном кубике это числа 2, 4 и 6. Всего таких исходов три.
Ответ: 3 исхода.

в) C — «выпало нечётное число очков»

Событию C благоприятствуют исходы, при которых выпадает нечётное число. На игральном кубике это числа 1, 3 и 5. Всего таких исходов три.
Ответ: 3 исхода.

г) D — «выпало или чётное, или нечётное число очков»

Любое число, выпавшее на кубике, является либо чётным, либо нечётным. Поэтому этому событию благоприятствуют все 6 возможных исходов.
Ответ: 6 исходов.

Какие исходы благоприятствуют каждому из событий A, B, C, D?

- Для события A благоприятствующий исход: $\{3\}$.
- Для события B благоприятствующие исходы: $\{2, 4, 6\}$.
- Для события C благоприятствующие исходы: $\{1, 3, 5\}$.
- Для события D благоприятствующие исходы: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Какие из событий A, B, C, D являются элементарными событиями?

Элементарное событие — это событие, состоящее из одного-единственного исхода.
- Событие A («выпало 3 очка») состоит из одного исхода $\{3\}$, поэтому оно является элементарным.
- События B, C и D состоят из нескольких исходов (трёх, трёх и шести соответственно), поэтому они не являются элементарными.
Ответ: элементарным является событие A.

779. В опыте бросают два игральных кубика. Сколько всего исходов в этом опыте? Сколько исходов благоприятствует событию:

а) A — «сумма очков равна 0»;

б) B — «сумма очков чётная»;

в) C — «сумма очков нечётная»;

г) D — «сумма очков равна 2»;

д) E — «сумма очков равна 7»;

е) F — «сумма очков равна 8»?

Какие исходы благоприятствуют каждому из событий A, B, C, D, E, F? Какие из этих событий являются элементарными событиями?

При броске одного игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Когда бросают два кубика, общее количество возможных исходов равно произведению количества исходов для каждого кубика.
Общее количество исходов: $N = 6 \times 6 = 36$.
Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел (a, b), где a — число очков на первом кубике, а b — на втором.

Рассмотрим каждое событие, перечислим благоприятствующие ему исходы и подсчитаем их количество.

а) A — «сумма очков равна 0»
Минимальное количество очков на одном кубике — 1. Поэтому минимальная возможная сумма очков на двух кубиках равна $1 + 1 = 2$. Получить сумму 0 невозможно.
Благоприятствующие исходы: отсутствуют.
Количество благоприятствующих исходов: 0.
Ответ: 0.

б) B — «сумма очков чётная»
Сумма двух чисел чётная, если оба числа чётные или оба нечётные.
Чётные числа на кубике: 2, 4, 6 (3 варианта). Нечётные: 1, 3, 5 (3 варианта).
Исходы (оба нечётные): (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5). Всего $3 \times 3 = 9$ исходов.
Исходы (оба чётные): (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). Всего $3 \times 3 = 9$ исходов.
Благоприятствующие исходы: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6).
Количество благоприятствующих исходов: $9 + 9 = 18$.
Ответ: 18.

в) C — «сумма очков нечётная»
Сумма двух чисел нечётная, если одно число чётное, а другое нечётное.
Исходы (первый нечётный, второй чётный): (1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6). Всего $3 \times 3 = 9$ исходов.
Исходы (первый чётный, второй нечётный): (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5). Всего $3 \times 3 = 9$ исходов.
Благоприятствующие исходы: (1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5).
Количество благоприятствующих исходов: $9 + 9 = 18$.
Ответ: 18.

г) D — «сумма очков равна 2»
Единственный способ получить сумму 2 — это выбросить по 1 очку на каждом кубике.
Благоприятствующий исход: (1, 1).
Количество благоприятствующих исходов: 1.
Ответ: 1.

д) E — «сумма очков равна 7»
Чтобы получить в сумме 7, возможны следующие комбинации:
Благоприятствующие исходы: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Количество благоприятствующих исходов: 6.
Ответ: 6.

е) F — «сумма очков равна 8»
Чтобы получить в сумме 8, возможны следующие комбинации:
Благоприятствующие исходы: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).
Количество благоприятствующих исходов: 5.
Ответ: 5.

Какие из этих событий являются элементарными событиями?
Элементарное событие — это событие, которому благоприятствует ровно один исход из всех возможных.

• Событие A (сумма равна 0) имеет 0 исходов, поэтому оно является невозможным событием.
• Событие B (сумма чётная) имеет 18 исходов.
• Событие C (сумма нечётная) имеет 18 исходов.
• Событие D (сумма равна 2) имеет 1 исход: (1, 1).
• Событие E (сумма равна 7) имеет 6 исходов.
• Событие F (сумма равна 8) имеет 5 исходов.

Следовательно, только одно из перечисленных событий является элементарным.
Ответ: элементарным является событие D.

780. В опыте из колоды в 36 карт извлекают одну карту. Сколько всего исходов в этом опыте? Сколько исходов благоприятствует событию:

а) $A$ — «извлечена дама трефовая»;

б) $B$ — «извлечена дама»;

в) $C$ — «извлечена любая карта трефовая»?

Какие исходы благоприятствуют каждому из событий $A$, $B$, $C$? Какие из этих событий являются элементарными событиями?

В данном опыте из колоды в 36 карт извлекают одну карту. Каждый возможный результат (извлечение одной конкретной карты) является исходом. Поскольку в колоде 36 различных карт, общее число исходов в этом опыте равно 36.

Рассмотрим, сколько исходов благоприятствует каждому из указанных событий.

а) A — «извлечена дама трефовая»
В колоде из 36 карт есть только одна карта "дама трефовая". Следовательно, этому событию благоприятствует ровно один исход.
Благоприятствующий исход: дама треф.
Ответ: 1.

б) B — «извлечена дама»
В колоде 4 масти, и в каждой из них есть дама. Таким образом, всего в колоде 4 дамы. Этому событию благоприятствуют 4 исхода.
Благоприятствующие исходы: дама треф, дама пик, дама червей, дама бубен.
Ответ: 4.

в) C — «извлечена любая карта трефовая»
В колоде из 36 карт карты каждой из четырех мастей составляют четверть колоды. Количество карт трефовой масти равно $36 \div 4 = 9$. Этому событию благоприятствуют 9 исходов.
Благоприятствующие исходы: 6 треф, 7 треф, 8 треф, 9 треф, 10 треф, валет треф, дама треф, король треф, туз треф.
Ответ: 9.

Какие из этих событий являются элементарными событиями?
Элементарное событие — это событие, состоящее из одного-единственного исхода.
- Событие A («извлечена дама трефовая») состоит из одного исхода, поэтому оно является элементарным.
- Событие B («извлечена дама») состоит из четырех исходов, поэтому оно не является элементарным (это составное событие).
- Событие C («извлечена любая карта трефовая») состоит из девяти исходов, поэтому оно также не является элементарным (это составное событие).
Ответ: Только событие A является элементарным.