Страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

761. Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два. Чему равно $A_4^2$?

Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два

Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества из $n$ элементов. В нашем случае множество состоит из четырёх элементов $\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$, и нам нужно составить из них все возможные упорядоченные пары (размещения по два). Это означает, что порядок элементов в паре важен, например, пара $(x_1, x_2)$ и пара $(x_2, x_1)$ являются разными размещениями.

Перечислим все такие пары, систематически выбирая первый и второй элементы:
- Пары, начинающиеся с $x_1$: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4)$
- Пары, начинающиеся с $x_2$: $(x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4)$
- Пары, начинающиеся с $x_3$: $(x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4)$
- Пары, начинающиеся с $x_4$: $(x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$

Ответ: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4), (x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4), (x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4), (x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$.

Чему равно $A_4^2$?

Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче общее количество элементов $n=4$, а количество элементов в каждой выборке $k=2$.
Подставим эти значения в формулу:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 3 = 12$.
Этот результат совпадает с количеством пар, которые были выписаны в ответе на первую часть вопроса.

Ответ: 12.

762. Вычислите:

а) $A_4^3$;

б) $A_5^2$;

в) $A_5^3$;

г) $A_7^4$;

д) $A_7^5$;

е) $A_8^6$.

Числом размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается $A_n^k$) называется количество способов выбрать и разместить в определенном порядке $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. Формула для вычисления числа размещений:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

а) Вычислим число размещений из 4 по 3:
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
Ответ: 24

б) Вычислим число размещений из 5 по 2:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20

в) Вычислим число размещений из 5 по 3:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Ответ: 60

г) Вычислим число размещений из 7 по 4:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.
Ответ: 840

д) Вычислим число размещений из 7 по 5:
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$.
Ответ: 2520

е) Вычислим число размещений из 8 по 6:
$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20160$.
Ответ: 20160