Страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

738. Сколько двухзначных, трёхзначных, четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4:

а) без повторения;

б) с повторением?

а) без повторения;

В этом случае мы составляем числа из набора цифр {1, 2, 3, 4} так, чтобы каждая цифра в числе использовалась не более одного раза. Это задача на нахождение числа размещений без повторений, где порядок важен. Мы будем использовать основное правило комбинаторики (правило произведения).

Двузначные числа:

Для первой цифры числа есть 4 варианта выбора (любая из цифр 1, 2, 3, 4). Поскольку цифры не могут повторяться, для второй цифры остаётся $4 - 1 = 3$ варианта. Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$4 \times 3 = 12$.

Это также можно рассчитать по формуле числа размещений из 4 элементов по 2: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12$.

Трёхзначные числа:

Для первой цифры есть 4 варианта, для второй — 3 оставшихся варианта, а для третьей — 2. Общее количество:

$4 \times 3 \times 2 = 24$.

По формуле числа размещений из 4 по 3: $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24$.

Четырёхзначные числа:

Здесь мы используем все 4 цифры. Количество таких чисел равно числу перестановок из 4 элементов, так как мы должны расставить все 4 цифры по 4 позициям:

$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$.

По формуле числа размещений из 4 по 4: $A_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = 4! = 24$.

Ответ: можно составить 12 двузначных, 24 трёхзначных и 24 четырёхзначных числа.

б) с повторением?

В этом случае цифры в числе могут повторяться. Это означает, что для каждой позиции в числе мы можем выбрать любую из 4-х доступных цифр, независимо от выбора для других позиций. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями.

Двузначные числа:

Для каждой из двух позиций в числе (десятки и единицы) можно выбрать любую из 4-х цифр. Количество вариантов:

$4 \times 4 = 4^2 = 16$.

Общая формула для размещений с повторениями из $n$ по $k$: $\bar{A}_n^k = n^k$. Здесь $n=4, k=2$.

Трёхзначные числа:

Для каждой из трёх позиций можно выбрать любую из 4-х цифр:

$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$.

Здесь $n=4, k=3$.

Четырёхзначные числа:

Аналогично, для каждой из четырёх позиций можно выбрать любую из 4-х цифр:

$4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256$.

Здесь $n=4, k=4$.

Ответ: можно составить 16 двузначных, 64 трёхзначных и 256 четырёхзначных чисел.

739. Бросили два игральных кубика. Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Для решения этой задачи воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения.

Условие задачи — бросок двух игральных кубиков. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней, на каждой из которых нанесено число от 1 до 6. Таким образом, при броске одного кубика существует 6 возможных исходов.

Поскольку бросают два кубика, и результат выпадения очков на одном кубике не зависит от результата на другом, мы можем перемножить количество возможных исходов для каждого кубика, чтобы найти общее число комбинаций.

Количество исходов для первого кубика: 6.
Количество исходов для второго кубика: 6.

Общее количество различных способов, которыми могут выпасть очки, равно произведению числа исходов для каждого кубика:

$6 \times 6 = 36$

Это можно представить в виде таблицы 6x6, где строки соответствуют очкам на первом кубике, а столбцы — на втором. Каждая ячейка таблицы представляет собой уникальный исход, и общее число ячеек равно 36.

Ответ: 36

740. a) На окружности отметили 7 точек. Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились 7 друзей, каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

а) Чтобы найти количество отрезков, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из 7 данных точек. Каждый отрезок соединяет ровно две точки, и порядок точек в паре не имеет значения (отрезок между точкой А и точкой Б — это тот же самый отрезок, что и между Б и А). Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n=7$ элементов по $k=2$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставляем наши значения: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

Другой способ рассуждения: каждая из 7 точек соединяется с 6 другими. Произведение $7 \times 6 = 42$ считает каждый отрезок дважды, поэтому его нужно разделить на 2: $\frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21.

б) Данная задача математически эквивалентна предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между парой из двух человек. Следовательно, нам нужно найти количество всех возможных пар, которые можно составить из 7 друзей.

Это также задача на нахождение числа сочетаний из 7 по 2. Расчет будет идентичен:

$C_7^2 = \frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.

Также можно посчитать последовательно: первый друг пожимает руку 6-ти друзьям. Второй пожимает руку 5-ти оставшимся (его рукопожатие с первым уже учтено). Третий — 4-м, и так далее. Общее число рукопожатий будет суммой: $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Ответ: 21.

741. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Чтобы определить общее количество партий в турнире, где каждый из восьми друзей играет с каждым по одному разу, можно использовать два основных метода.

Способ 1: Логический подсчет

Рассмотрим каждого друга по очереди и посчитаем количество его уникальных партий.

• Первый друг сыграет с 7 другими друзьями. Это 7 партий.
• Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему осталось сыграть с 6 оставшимися друзьями. Это 6 новых партий.
• Третий друг уже сыграл с первым и вторым, ему остается сыграть с 5 другими. Это 5 новых партий.
• Четвертый друг сыграет 4 новые партии.
• Пятый друг – 3 новые партии.
• Шестой друг – 2 новые партии.
• Седьмой друг сыграет последнюю уникальную партию с восьмым другом. Это 1 новая партия.
• Восьмой друг к этому моменту уже сыграл со всеми.

Чтобы найти общее количество партий, сложим все эти уникальные партии:
$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Способ 2: Использование комбинаторики

Каждая партия представляет собой выбор двух игроков из восьми, причем порядок игроков не важен. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Где $n$ – общее количество друзей ( $n=8$ ), а $k$ – количество участников в одной партии ( $k=2$ ).

Подставим наши значения в формулу:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Также можно рассуждать так: каждый из 8 друзей играет $7$ партий ( $8-1$ ). Если мы просто умножим $8 \times 7 = 56$, мы посчитаем каждую партию дважды (например, партию друг А – друг Б и друг Б – друг А). Поэтому результат нужно разделить на 2:
Количество партий = $\frac{8 \times (8-1)}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28

742. Исследуем.

а) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Вова Веселов был так рад встрече, что пожал руку дважды некоторым из своих друзей, но не всем. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?

б) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Последним пришёл Петя Угрюмов, он пожал руку не всем своим друзьям. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?

а)

Пусть $n$ — общее число друзей. Если бы каждый пожал руку каждому ровно один раз, то общее число рукопожатий было бы равно числу сочетаний из $n$ по 2, что вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, Вова Веселов, один из друзей, пожал руку дважды некоторым из своих друзей, но не всем. Это означает, что к стандартному числу рукопожатий ($\frac{n(n-1)}{2}$) добавилось несколько ($k$) дополнительных рукопожатий.

Общее число рукопожатий равно 30. Таким образом, мы можем записать уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} + k = 30$

Вова является одним из $n$ друзей, следовательно, у него $n-1$ друг. Условие "пожал руку дважды некоторым, но не всем" означает, что число дополнительных рукопожатий $k$ должно быть больше или равно 1 (некоторым), но строго меньше, чем общее число его друзей $n-1$ (не всем). То есть, должно выполняться неравенство: $1 \le k < n-1$.

Из уравнения выразим $k$: $k = 30 - \frac{n(n-1)}{2}$. Так как $k \ge 1$, то $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 30. Проверим возможные целочисленные значения $n$ методом подбора, начиная с малых чисел.

• При $n \le 7$, значение $\frac{n(n-1)}{2}$ будет не более 21. Тогда $k = 30 - \frac{n(n-1)}{2}$ будет не менее $30 - 21 = 9$. При этом $n-1$ будет не более 6. Условие $k < n-1$ (например, $9 < 6$) не выполняется.
• При $n=8$: число стандартных рукопожатий равно $\frac{8 \times (8-1)}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$. Тогда число дополнительных рукопожатий $k = 30 - 28 = 2$. Проверим выполнение условия $1 \le k < n-1$: $1 \le 2 < 8-1$, то есть $1 \le 2 < 7$. Неравенство верно. Это означает, что встретились 8 друзей, и Вова дополнительно пожал руку двум из своих семи друзей.
• При $n=9$: число стандартных рукопожатий равно $\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. Это уже больше 30, поэтому $n$ не может быть 9 или больше.

Таким образом, единственное подходящее значение для числа друзей — это 8.

Ответ: 8 друзей.

б)

Пусть $n$ — общее число друзей, включая Петю Угрюмова.

Если бы все $n$ друзей пожали руку каждому, общее число рукопожатий составило бы $\frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, Петя Угрюмов "пожал руку не всем своим друзьям". Это означает, что некоторое количество рукопожатий, которые должны были произойти с его участием, не состоялись. Общее число фактических рукопожатий (30) меньше, чем максимально возможное для группы из $n$ человек.

Пусть $p$ — это количество друзей, которым Петя не пожал руку. У Пети $n-1$ друг. Условие "пожал руку не всем" означает, что $p \ge 1$. Обычно такая формулировка подразумевает, что он всё-таки пожал руку хотя бы одному другу, значит, число несостоявшихся рукопожатий $p$ меньше общего числа его друзей $n-1$. Таким образом, для $p$ должно выполняться неравенство $1 \le p < n-1$.

Общее число рукопожатий можно вычислить как максимально возможное число минус число несостоявшихся рукопожатий:
$\frac{n(n-1)}{2} - p = 30$

Из этого уравнения выразим $p$: $p = \frac{n(n-1)}{2} - 30$. Так как $p \ge 1$, то $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть больше 30. Проверим возможные значения $n$.

• При $n \le 8$, значение $\frac{n(n-1)}{2}$ будет не более 28, что меньше 30. Следовательно, $n$ должно быть больше 8.
• При $n=9$: максимально возможное число рукопожатий равно $\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. Тогда число несостоявшихся рукопожатий $p = 36 - 30 = 6$. Проверим выполнение условия $1 \le p < n-1$: $1 \le 6 < 9-1$, то есть $1 \le 6 < 8$. Неравенство верно. Это значит, что всего было 9 друзей, но Петя не пожал руку шестерым из своих восьми друзей (соответственно, пожал двум).
• При $n=10$: максимально возможное число рукопожатий равно $\frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$. Тогда $p = 45 - 30 = 15$. Проверяем условие $1 \le p < n-1$: $1 \le 15 < 10-1$, то есть $1 \le 15 < 9$. Неравенство неверно.

При дальнейшем увеличении $n$ разница $\frac{n(n-1)}{2} - 30$ будет расти быстрее, чем $n-1$, поэтому других решений не существует.

Следовательно, единственное возможное число друзей — 9.

Ответ: 9 друзей.