Страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

733. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7 без повторения;

б) 5, 6, 7 с повторением;

в) 7, 8, 9 без повторения;

г) 7, 8, 9 с повторением.

а) 5, 6, 7 без повторения;

Для составления двузначного числа из заданных цифр без их повторения, необходимо выбрать первую цифру (десятки) и вторую (единицы). На место первой цифры можно поставить любую из трех данных цифр (5, 6 или 7). После того как первая цифра выбрана, для второй цифры остается два варианта, так как цифры не должны повторяться. Общее количество таких чисел можно найти по формуле размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ (количество доступных цифр), а $k=2$ (количество цифр в числе). Таким образом, количество чисел равно $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Перечислим все возможные числа, составляя их по порядку:

• Если первая цифра 5, то вторая может быть 6 или 7. Получаем числа: 56, 57.
• Если первая цифра 6, то вторая может быть 5 или 7. Получаем числа: 65, 67.
• Если первая цифра 7, то вторая может быть 5 или 6. Получаем числа: 75, 76.

Ответ: 56, 57, 65, 67, 75, 76.

б) 5, 6, 7 с повторением;

При составлении двузначного числа из цифр 5, 6, 7 с возможностью повторения, мы можем использовать любую из трех цифр как для десятков, так и для единиц. На место десятков есть 3 варианта выбора (5, 6 или 7). Поскольку цифры могут повторяться, на место единиц также есть 3 варианта выбора. Общее количество таких чисел равно $3 \times 3 = 9$. Это соответствует формуле для числа размещений с повторениями $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=3$ и $k=2$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 5, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 55, 56, 57.
• Если первая цифра 6, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 65, 66, 67.
• Если первая цифра 7, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 75, 76, 77.

Ответ: 55, 56, 57, 65, 66, 67, 75, 76, 77.

в) 7, 8, 9 без повторения;

Аналогично пункту а), для составления двузначного числа из цифр 7, 8, 9 без повторения, на место десятков мы можем поставить любую из трех цифр, а на место единиц — любую из двух оставшихся. Общее количество таких чисел равно $3 \times 2 = 6$. По формуле размещений без повторений: $A_3^2 = 6$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 7, то вторая может быть 8 или 9. Получаем числа: 78, 79.
• Если первая цифра 8, то вторая может быть 7 или 9. Получаем числа: 87, 89.
• Если первая цифра 9, то вторая может быть 7 или 8. Получаем числа: 97, 98.

Ответ: 78, 79, 87, 89, 97, 98.

г) 7, 8, 9 с повторением.

Аналогично пункту б), при составлении двузначного числа из цифр 7, 8, 9 с возможностью их повторения, на место десятков можно поставить любую из трех цифр, и на место единиц также можно поставить любую из трех цифр. Общее количество комбинаций равно $3 \times 3 = 9$. По формуле размещений с повторениями: $\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 7, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 77, 78, 79.
• Если первая цифра 8, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 87, 88, 89.
• Если первая цифра 9, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 97, 98, 99.

Ответ: 77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99.

734. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 2:

а) без повторения;

б) с повторением.

а) без повторения;

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Нам даны цифры 0, 1, 2 для составления чисел.

Важное правило для двузначных чисел: цифра в разряде десятков (первая цифра) не может быть нулём. Следовательно, на это место мы можем поставить только цифру 1 или 2.

По условию, цифры в числе не должны повторяться. Рассмотрим все возможные варианты:

1. Пусть первая цифра (десятки) равна 1. Тогда для второй цифры (единицы) остаются неиспользованные цифры из набора {0, 1, 2}, то есть 0 и 2. Таким образом, мы можем составить числа 10 и 12.

2. Пусть первая цифра (десятки) равна 2. Тогда для второй цифры (единицы) остаются неиспользованные цифры 0 и 1. Таким образом, мы можем составить числа 20 и 21.

Собрав все полученные числа вместе, получаем полный список.

Ответ: 10, 12, 20, 21.

б) с повторением.

В этом случае цифры в записи числа могут повторяться. Как и в предыдущем пункте, первая цифра (десятки) не может быть 0, поэтому для неё возможны варианты 1 или 2.

Так как повторение разрешено, на место второй цифры (единицы) можно поставить любую из трёх данных цифр: 0, 1 или 2. Рассмотрим все варианты:

1. Если первая цифра равна 1, то вторая цифра может быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 10, 11, 12.

2. Если первая цифра равна 2, то вторая цифра также может быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 20, 21, 22.

Собрав все полученные числа вместе, получаем полный список.

Ответ: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

735. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 1, 2, 3:

а) с повторением цифр;

б) без повторения цифр?

а) с повторением цифр
Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. Нам даны три цифры: 1, 2, 3.
На позицию десятков мы можем поставить любую из трех цифр. Таким образом, у нас есть 3 варианта.
Поскольку повторение цифр разрешено, на позицию единиц мы также можем поставить любую из трех цифр. Это еще 3 варианта.
Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это называется правилом умножения в комбинаторике.
Количество чисел = (количество вариантов для десятков) × (количество вариантов для единиц).
В данном случае это $3 \times 3 = 9$.
Это задача на размещения с повторениями, которая вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество доступных элементов (у нас 3 цифры), а $k$ — количество позиций (у нас 2, так как число двузначное).
$\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.
Вот все возможные числа: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
Ответ: 9.

б) без повторения цифр
В этом случае цифры в двузначном числе не должны повторяться.
На позицию десятков мы можем поставить любую из трех данных цифр (1, 2 или 3). У нас есть 3 варианта.
После того как мы выбрали цифру для разряда десятков, для разряда единиц останется только две цифры, так как использованную цифру повторять нельзя. Например, если на первом месте стоит цифра 1, то на втором может быть только 2 или 3. Таким образом, для второй позиции у нас остается 2 варианта.
Общее количество чисел находим по правилу умножения:
Количество чисел = (количество вариантов для десятков) × (количество оставшихся вариантов для единиц).
В данном случае это $3 \times 2 = 6$.
Это задача на размещения без повторений, которая вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ и $k=2$.
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$.
Вот все возможные числа: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Ответ: 6.

736. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 0, 2, 4, 6:

а) с повторением цифр;

б) без повторения цифр?

а) с повторением цифр;

Чтобы составить двузначное число из предложенных цифр {0, 2, 4, 6}, нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц.

На место первой цифры (десятки) мы можем поставить любую из цифр {2, 4, 6}. Цифру 0 использовать нельзя, так как в этом случае число не будет двузначным. Таким образом, у нас есть 3 варианта для первой цифры.

На место второй цифры (единицы) мы можем поставить любую из четырех предложенных цифр {0, 2, 4, 6}, поскольку по условию цифры могут повторяться. Таким образом, у нас есть 4 варианта для второй цифры.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (комбинаторное правило умножения):

$3 \times 4 = 12$

Таким образом, можно составить 12 двузначных чисел с повторением цифр.

Ответ: 12.

б) без повторения цифр?

В этом случае цифры в записи числа не должны повторяться.

Выбор первой цифры (десятки) остается таким же: это может быть 2, 4 или 6. То есть, 3 варианта.

Выбор второй цифры (единицы) зависит от того, какая цифра была выбрана первой. Из четырех данных цифр {0, 2, 4, 6} одна уже использована для разряда десятков. Следовательно, для выбора второй цифры остается $4 - 1 = 3$ варианта.

Например, если первая цифра 2, то вторая может быть 0, 4 или 6. Если первая 4, то вторая может быть 0, 2 или 6.

Общее количество возможных чисел находим, перемножив количество вариантов для каждой позиции:

$3 \times 3 = 9$

Таким образом, можно составить 9 двузначных чисел без повторения цифр.

Ответ: 9.

737. Четыре друга купили 4 билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов, которыми можно расставить 4 человек по 4 местам. Поскольку все люди и все места различны, и порядок их расположения важен, мы имеем дело с перестановками.

Рассмотрим процесс рассадки друзей по местам пошагово:

1. На первое место может сесть любой из четырёх друзей. Следовательно, у нас есть 4 варианта.

2. Когда один друг уже занял своё место, на второе место может сесть любой из оставшихся троих друзей. То есть, для второго места есть 3 варианта.

3. На третье место остаётся выбор уже из двух друзей, что даёт 2 варианта.

4. На последнее, четвёртое, место может сесть только один оставшийся друг, поэтому есть всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество всех возможных способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого места. Это фундаментальное правило комбинаторики, известное как правило умножения.

Количество способов = $4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. В нашем случае мы вычисляем факториал числа 4.

Число перестановок из 4 элементов обозначается как $P_4$ и вычисляется по формуле:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 различных способа, которыми четыре друга могут занять 4 места.

Ответ: 24.