Номер 733, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

733. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7 без повторения;

б) 5, 6, 7 с повторением;

в) 7, 8, 9 без повторения;

г) 7, 8, 9 с повторением.

а) 5, 6, 7 без повторения;

Для составления двузначного числа из заданных цифр без их повторения, необходимо выбрать первую цифру (десятки) и вторую (единицы). На место первой цифры можно поставить любую из трех данных цифр (5, 6 или 7). После того как первая цифра выбрана, для второй цифры остается два варианта, так как цифры не должны повторяться. Общее количество таких чисел можно найти по формуле размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ (количество доступных цифр), а $k=2$ (количество цифр в числе). Таким образом, количество чисел равно $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Перечислим все возможные числа, составляя их по порядку:

• Если первая цифра 5, то вторая может быть 6 или 7. Получаем числа: 56, 57.
• Если первая цифра 6, то вторая может быть 5 или 7. Получаем числа: 65, 67.
• Если первая цифра 7, то вторая может быть 5 или 6. Получаем числа: 75, 76.

Ответ: 56, 57, 65, 67, 75, 76.

б) 5, 6, 7 с повторением;

При составлении двузначного числа из цифр 5, 6, 7 с возможностью повторения, мы можем использовать любую из трех цифр как для десятков, так и для единиц. На место десятков есть 3 варианта выбора (5, 6 или 7). Поскольку цифры могут повторяться, на место единиц также есть 3 варианта выбора. Общее количество таких чисел равно $3 \times 3 = 9$. Это соответствует формуле для числа размещений с повторениями $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=3$ и $k=2$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 5, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 55, 56, 57.
• Если первая цифра 6, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 65, 66, 67.
• Если первая цифра 7, то вторая может быть 5, 6 или 7. Получаем числа: 75, 76, 77.

Ответ: 55, 56, 57, 65, 66, 67, 75, 76, 77.

в) 7, 8, 9 без повторения;

Аналогично пункту а), для составления двузначного числа из цифр 7, 8, 9 без повторения, на место десятков мы можем поставить любую из трех цифр, а на место единиц — любую из двух оставшихся. Общее количество таких чисел равно $3 \times 2 = 6$. По формуле размещений без повторений: $A_3^2 = 6$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 7, то вторая может быть 8 или 9. Получаем числа: 78, 79.
• Если первая цифра 8, то вторая может быть 7 или 9. Получаем числа: 87, 89.
• Если первая цифра 9, то вторая может быть 7 или 8. Получаем числа: 97, 98.

Ответ: 78, 79, 87, 89, 97, 98.

г) 7, 8, 9 с повторением.

Аналогично пункту б), при составлении двузначного числа из цифр 7, 8, 9 с возможностью их повторения, на место десятков можно поставить любую из трех цифр, и на место единиц также можно поставить любую из трех цифр. Общее количество комбинаций равно $3 \times 3 = 9$. По формуле размещений с повторениями: $\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.

Перечислим все возможные числа:

• Если первая цифра 7, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 77, 78, 79.
• Если первая цифра 8, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 87, 88, 89.
• Если первая цифра 9, то вторая может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 97, 98, 99.

Ответ: 77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99.