Номер 732, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

732. Доказываем. Докажите свойства дисперсии:

а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;

б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в $k$ раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в $k^2$ раз.

а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;

Пусть дана совокупность числовых значений $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этой совокупности равно $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Дисперсия $D(X)$ по определению равна среднему квадрату отклонений от среднего:

$D(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Теперь изменим каждое значение на одну и ту же постоянную величину $c$. Новая совокупность $Y$ будет иметь вид: $y_1 = x_1 + c, y_2 = x_2 + c, \dots, y_n = x_n + c$. Знак константы $c$ определяет, увеличиваются или уменьшаются значения.

Найдем среднее арифметическое новой совокупности $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i + c) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}c) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{nc}{n} = \bar{x} + c$.

Как видим, среднее арифметическое также изменилось на величину $c$.

Теперь вычислим новую дисперсию $D(Y)$ для совокупности $y_i$:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$.

Подставим выражения для $y_i$ и $\bar{y}$:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2$.

Упростим выражения в скобках: $(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i + c - \bar{x} - c = x_i - \bar{x}$.

Тогда формула для новой дисперсии примет вид:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Полученное выражение в точности совпадает с исходной дисперсией $D(X)$. Таким образом, $D(Y) = D(X)$.

Это доказывает, что при увеличении или уменьшении каждого значения совокупности на постоянную величину, дисперсия не изменяется.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k² раз.

Пусть дана та же исходная совокупность $x_1, x_2, \dots, x_n$ со средним значением $\bar{x}$ и дисперсией $D(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Теперь изменим каждое значение в $k$ раз, где $k$ - постоянный множитель ($k \neq 0$). Новая совокупность $Z$ будет иметь вид: $z_1 = k \cdot x_1, z_2 = k \cdot x_2, \dots, z_n = k \cdot x_n$.

Найдем среднее арифметическое новой совокупности $\bar{z}$:

$\bar{z} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(k \cdot x_i) = k \cdot (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i) = k \cdot \bar{x}$.

Среднее арифметическое также изменилось в $k$ раз.

Вычислим новую дисперсию $D(Z)$ для совокупности $z_i$:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})^2$.

Подставим значения $z_i = k \cdot x_i$ и $\bar{z} = k \cdot \bar{x}$:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(k \cdot x_i - k \cdot \bar{x})^2$.

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в каждом слагаемом и воспользуемся свойством степени $(ab)^2 = a^2b^2$:

$(k \cdot x_i - k \cdot \bar{x})^2 = (k(x_i - \bar{x}))^2 = k^2(x_i - \bar{x})^2$.

Тогда выражение для дисперсии примет вид:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k^2(x_i - \bar{x})^2$.

Вынесем постоянный множитель $k^2$ за знак суммы:

$D(Z) = k^2 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)$.

Выражение в скобках является исходной дисперсией $D(X)$. Следовательно, $D(Z) = k^2 \cdot D(X)$.

Это доказывает, что при увеличении или уменьшении каждого значения совокупности в $k$ раз, дисперсия изменяется в $k^2$ раз.

Ответ: Утверждение доказано.