Номер 731, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

731. Ищем информацию. Используя данные из справочной литературы и Интернета, приведите примеры применения отклонений от среднего значения и дисперсии для характеристики совокупности данных.

Отклонение от среднего значения и дисперсия являются фундаментальными статистическими мерами, которые позволяют охарактеризовать набор данных не только с точки зрения его «центра», но и с точки зрения его разброса, изменчивости и однородности. Эти показатели находят широкое применение в различных сферах деятельности.

Применение отклонений от среднего значения

Отклонение от среднего значения — это разность между конкретным значением в выборке и средним арифметическим этой выборки ($x_i - \bar{x}$). Этот показатель демонстрирует, насколько отдельный элемент данных отличается от «типичного» значения. Основная его функция — оценка индивидуальных наблюдений в контексте всей группы.

Пример 1: Метеорология.

Климатологи рассчитывают среднюю температуру для каждого дня года на основе многолетних наблюдений. Допустим, средняя температура для 15 октября в Москве составляет +6 °C. Если в текущем году 15 октября температура составила +11 °C, то отклонение от среднего будет $11 - 6 = +5$ °C. Когда в прогнозе погоды говорят, что «температура на 5 градусов выше нормы», имеется в виду именно это отклонение. Оно помогает нам понять, насколько погода в конкретный день является аномальной или типичной для сезона.

Пример 2: Контроль успеваемости в образовании.

Предположим, средний балл за контрольную работу в классе составил 78 баллов. Ученик получил 93 балла. Его отклонение от среднего равно $93 - 78 = +15$ баллов. Другой ученик получил 70 баллов, и его отклонение составляет $70 - 78 = -8$ баллов. Эти значения позволяют учителю быстро оценить успеваемость каждого ученика относительно всего класса, выявить как отличников, так и тех, кому может потребоваться дополнительная помощь.

Ответ: Отклонение от среднего значения используется для анализа индивидуальных данных в сравнении со средним показателем всей совокупности, что позволяет оценить, является ли конкретное значение типичным, выдающимся или аномально низким в данном контексте.

Применение дисперсии

Дисперсия — это мера разброса данных, которая показывает, насколько значения в наборе данных в среднем отклоняются от их среднего арифметического. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений: $D(X) = \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$. Поскольку дисперсия измеряется в квадратных единицах (например, квадратные градусы или квадратные рубли), для удобства интерпретации часто используют квадратный корень из дисперсии — стандартное (или среднеквадратическое) отклонение ($\sigma$). Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Пример 1: Финансы и оценка рисков.

Инвесторы используют дисперсию и стандартное отклонение для измерения волатильности (рискованности) активов, например, акций. Рассмотрим две акции, А и Б, обе с одинаковой средней годовой доходностью 12%.
- Акция А имеет низкое стандартное отклонение, скажем, 2%. Это означает, что её доходность, скорее всего, будет колебаться в узком диапазоне вокруг 12% (например, от 10% до 14%). Это стабильный, низкорисковый актив.
- Акция Б имеет высокое стандартное отклонение, например, 20%. Её доходность может сильно меняться из года в год (например, от -8% до +32%). Это более рискованный, волатильный актив, который может принести как большой доход, так и большие убытки.
Таким образом, дисперсия помогает инвестору выбрать актив, соответствующий его готовности к риску.

Пример 2: Контроль качества на производстве.

Завод производит детали, например, подшипники с заданным диаметром 50 мм. Даже самый точный станок имеет небольшие погрешности. Для контроля качества из партии берут выборку деталей и измеряют их диаметр. Средний диаметр может быть равен 50 мм, но это еще не говорит о качестве. Если дисперсия диаметров велика, это означает, что многие детали либо слишком большие, либо слишком маленькие, и вся партия может быть бракованной. Если же дисперсия мала, это свидетельствует о стабильности производственного процесса и высоком качестве продукции — почти все детали имеют размер, очень близкий к эталонному. Рост дисперсии со временем может сигнализировать об износе оборудования.

Ответ: Дисперсия (и стандартное отклонение) применяется для количественной оценки степени разброса или изменчивости данных в совокупности. Этот показатель является ключевым для оценки стабильности процессов (производство), измерения рисков (финансы) и определения однородности данных в научных и социальных исследованиях.