Номер 729, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

729. Два стрелка на тренировке показали результаты, представленные в таблице. Здесь для каждого стрелка выписано количество выбитых очков для каждого из 10 выстрелов.

Вычислите среднее значение и дисперсию для первого стрелка; для второго стрелка. Сделайте выводы из проведённого исследования.

Расчет для первого стрелка

Дан ряд результатов первого стрелка: 7, 8, 7, 9, 10, 7, 8, 9, 10, 10.
Всего $n=10$ выстрелов.

1. Среднее значение (или среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех результатов, деленная на их количество.
Найдем сумму очков:
$\sum x_i = 7 + 8 + 7 + 9 + 10 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 = 85$.
Вычислим среднее значение:
$\bar{x}_1 = \frac{85}{10} = 8.5$.

2. Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от их среднего значения. Формула для вычисления дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x}_1)^2 = 3 \cdot (7-8.5)^2 + 2 \cdot (8-8.5)^2 + 2 \cdot (9-8.5)^2 + 3 \cdot (10-8.5)^2$
$= 3 \cdot (-1.5)^2 + 2 \cdot (-0.5)^2 + 2 \cdot (0.5)^2 + 3 \cdot (1.5)^2 = 3 \cdot 2.25 + 2 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.25 + 3 \cdot 2.25 = 14.5$.
Вычислим дисперсию:
$D_1 = \frac{14.5}{10} = 1.45$.

Ответ: среднее значение для первого стрелка равно 8.5, дисперсия равна 1.45.

Расчет для второго стрелка

Дан ряд результатов второго стрелка: 7, 6, 8, 9, 9, 8, 9, 9, 8, 7.
Всего $n=10$ выстрелов.

1. Среднее значение.
Найдем сумму очков:
$\sum y_i = 7 + 6 + 8 + 9 + 9 + 8 + 9 + 9 + 8 + 7 = 80$.
Вычислим среднее значение:
$\bar{y}_2 = \frac{80}{10} = 8$.

2. Дисперсия.
Вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (y_i - \bar{y}_2)^2 = 1 \cdot (6-8)^2 + 2 \cdot (7-8)^2 + 3 \cdot (8-8)^2 + 4 \cdot (9-8)^2$
$= 1 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 1^2 = 4 + 2 + 0 + 4 = 10$.
Вычислим дисперсию:
$D_2 = \frac{10}{10} = 1$.

Ответ: среднее значение для второго стрелка равно 8, дисперсия равна 1.

Выводы

Сравним показатели двух стрелков:
- Среднее значение у первого стрелка ($\bar{x}_1 = 8.5$) выше, чем у второго ($\bar{y}_2 = 8$). Это означает, что в среднем первый стрелок набирает больше очков.
- Дисперсия у первого стрелка ($D_1 = 1.45$) больше, чем у второго ($D_2 = 1$). Дисперсия показывает, насколько сильно результаты отклоняются от среднего. Меньшая дисперсия у второго стрелка говорит о том, что он стреляет более стабильно, а его результаты более предсказуемы.
Таким образом, первый стрелок является более метким в среднем, но второй — более стабильным.

Ответ: первый стрелок в среднем показывает более высокий результат (8.5 против 8), но его стрельба менее стабильна, чем у второго стрелка (дисперсия 1.45 против 1).