Номер 735, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

735. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 1, 2, 3:

а) с повторением цифр;

б) без повторения цифр?

а) с повторением цифр
Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. Нам даны три цифры: 1, 2, 3.
На позицию десятков мы можем поставить любую из трех цифр. Таким образом, у нас есть 3 варианта.
Поскольку повторение цифр разрешено, на позицию единиц мы также можем поставить любую из трех цифр. Это еще 3 варианта.
Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это называется правилом умножения в комбинаторике.
Количество чисел = (количество вариантов для десятков) × (количество вариантов для единиц).
В данном случае это $3 \times 3 = 9$.
Это задача на размещения с повторениями, которая вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество доступных элементов (у нас 3 цифры), а $k$ — количество позиций (у нас 2, так как число двузначное).
$\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.
Вот все возможные числа: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
Ответ: 9.

б) без повторения цифр
В этом случае цифры в двузначном числе не должны повторяться.
На позицию десятков мы можем поставить любую из трех данных цифр (1, 2 или 3). У нас есть 3 варианта.
После того как мы выбрали цифру для разряда десятков, для разряда единиц останется только две цифры, так как использованную цифру повторять нельзя. Например, если на первом месте стоит цифра 1, то на втором может быть только 2 или 3. Таким образом, для второй позиции у нас остается 2 варианта.
Общее количество чисел находим по правилу умножения:
Количество чисел = (количество вариантов для десятков) × (количество оставшихся вариантов для единиц).
В данном случае это $3 \times 2 = 6$.
Это задача на размещения без повторений, которая вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ и $k=2$.
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$.
Вот все возможные числа: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Ответ: 6.