Номер 741, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

741. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Чтобы определить общее количество партий в турнире, где каждый из восьми друзей играет с каждым по одному разу, можно использовать два основных метода.

Способ 1: Логический подсчет

Рассмотрим каждого друга по очереди и посчитаем количество его уникальных партий.

• Первый друг сыграет с 7 другими друзьями. Это 7 партий.
• Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему осталось сыграть с 6 оставшимися друзьями. Это 6 новых партий.
• Третий друг уже сыграл с первым и вторым, ему остается сыграть с 5 другими. Это 5 новых партий.
• Четвертый друг сыграет 4 новые партии.
• Пятый друг – 3 новые партии.
• Шестой друг – 2 новые партии.
• Седьмой друг сыграет последнюю уникальную партию с восьмым другом. Это 1 новая партия.
• Восьмой друг к этому моменту уже сыграл со всеми.

Чтобы найти общее количество партий, сложим все эти уникальные партии:
$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$

Способ 2: Использование комбинаторики

Каждая партия представляет собой выбор двух игроков из восьми, причем порядок игроков не важен. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Где $n$ – общее количество друзей ( $n=8$ ), а $k$ – количество участников в одной партии ( $k=2$ ).

Подставим наши значения в формулу:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Также можно рассуждать так: каждый из 8 друзей играет $7$ партий ( $8-1$ ). Если мы просто умножим $8 \times 7 = 56$, мы посчитаем каждую партию дважды (например, партию друг А – друг Б и друг Б – друг А). Поэтому результат нужно разделить на 2:
Количество партий = $\frac{8 \times (8-1)}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28