Номер 742, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

742. Исследуем.

а) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Вова Веселов был так рад встрече, что пожал руку дважды некоторым из своих друзей, но не всем. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?

б) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Последним пришёл Петя Угрюмов, он пожал руку не всем своим друзьям. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?

а)

Пусть $n$ — общее число друзей. Если бы каждый пожал руку каждому ровно один раз, то общее число рукопожатий было бы равно числу сочетаний из $n$ по 2, что вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, Вова Веселов, один из друзей, пожал руку дважды некоторым из своих друзей, но не всем. Это означает, что к стандартному числу рукопожатий ($\frac{n(n-1)}{2}$) добавилось несколько ($k$) дополнительных рукопожатий.

Общее число рукопожатий равно 30. Таким образом, мы можем записать уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} + k = 30$

Вова является одним из $n$ друзей, следовательно, у него $n-1$ друг. Условие "пожал руку дважды некоторым, но не всем" означает, что число дополнительных рукопожатий $k$ должно быть больше или равно 1 (некоторым), но строго меньше, чем общее число его друзей $n-1$ (не всем). То есть, должно выполняться неравенство: $1 \le k < n-1$.

Из уравнения выразим $k$: $k = 30 - \frac{n(n-1)}{2}$. Так как $k \ge 1$, то $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 30. Проверим возможные целочисленные значения $n$ методом подбора, начиная с малых чисел.

• При $n \le 7$, значение $\frac{n(n-1)}{2}$ будет не более 21. Тогда $k = 30 - \frac{n(n-1)}{2}$ будет не менее $30 - 21 = 9$. При этом $n-1$ будет не более 6. Условие $k < n-1$ (например, $9 < 6$) не выполняется.
• При $n=8$: число стандартных рукопожатий равно $\frac{8 \times (8-1)}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$. Тогда число дополнительных рукопожатий $k = 30 - 28 = 2$. Проверим выполнение условия $1 \le k < n-1$: $1 \le 2 < 8-1$, то есть $1 \le 2 < 7$. Неравенство верно. Это означает, что встретились 8 друзей, и Вова дополнительно пожал руку двум из своих семи друзей.
• При $n=9$: число стандартных рукопожатий равно $\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. Это уже больше 30, поэтому $n$ не может быть 9 или больше.

Таким образом, единственное подходящее значение для числа друзей — это 8.

Ответ: 8 друзей.

б)

Пусть $n$ — общее число друзей, включая Петю Угрюмова.

Если бы все $n$ друзей пожали руку каждому, общее число рукопожатий составило бы $\frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, Петя Угрюмов "пожал руку не всем своим друзьям". Это означает, что некоторое количество рукопожатий, которые должны были произойти с его участием, не состоялись. Общее число фактических рукопожатий (30) меньше, чем максимально возможное для группы из $n$ человек.

Пусть $p$ — это количество друзей, которым Петя не пожал руку. У Пети $n-1$ друг. Условие "пожал руку не всем" означает, что $p \ge 1$. Обычно такая формулировка подразумевает, что он всё-таки пожал руку хотя бы одному другу, значит, число несостоявшихся рукопожатий $p$ меньше общего числа его друзей $n-1$. Таким образом, для $p$ должно выполняться неравенство $1 \le p < n-1$.

Общее число рукопожатий можно вычислить как максимально возможное число минус число несостоявшихся рукопожатий:
$\frac{n(n-1)}{2} - p = 30$

Из этого уравнения выразим $p$: $p = \frac{n(n-1)}{2} - 30$. Так как $p \ge 1$, то $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть больше 30. Проверим возможные значения $n$.

• При $n \le 8$, значение $\frac{n(n-1)}{2}$ будет не более 28, что меньше 30. Следовательно, $n$ должно быть больше 8.
• При $n=9$: максимально возможное число рукопожатий равно $\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. Тогда число несостоявшихся рукопожатий $p = 36 - 30 = 6$. Проверим выполнение условия $1 \le p < n-1$: $1 \le 6 < 9-1$, то есть $1 \le 6 < 8$. Неравенство верно. Это значит, что всего было 9 друзей, но Петя не пожал руку шестерым из своих восьми друзей (соответственно, пожал двум).
• При $n=10$: максимально возможное число рукопожатий равно $\frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$. Тогда $p = 45 - 30 = 15$. Проверяем условие $1 \le p < n-1$: $1 \le 15 < 10-1$, то есть $1 \le 15 < 9$. Неравенство неверно.

При дальнейшем увеличении $n$ разница $\frac{n(n-1)}{2} - 30$ будет расти быстрее, чем $n-1$, поэтому других решений не существует.

Следовательно, единственное возможное число друзей — 9.

Ответ: 9 друзей.