Номер 746, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

746. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколькими способами можно осуществить выбор, если это должны быть:

а) два мальчика;

б) две девочки;

в) мальчик-староста и девочка-заместитель;

г) девочка-староста и мальчик-заместитель;

д) мальчик и девочка (старостой может быть и мальчик, и девочка)?

В этой задаче мы будем использовать основные принципы комбинаторики: правило произведения и правило суммы. Поскольку должности старосты и заместителя различны, порядок выбора кандидатов имеет значение, поэтому мы имеем дело с размещениями.

а) два мальчика

Нужно выбрать 2 человек на 2 разные должности из 12 мальчиков. На должность старосты можно выбрать одного из 12 мальчиков, то есть есть 12 способов. После того, как староста выбран, на должность его заместителя остается 11 мальчиков. Значит, есть 11 способов выбрать заместителя. По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $12 \times 11 = 132$. Это также можно рассчитать как число размещений из 12 по 2: $A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = 12 \times 11 = 132$.

Ответ: 132.

б) две девочки

Нужно выбрать 2 человек на 2 разные должности из 15 девочек. На должность старосты можно выбрать одну из 15 девочек (15 способов). На должность заместителя останется 14 девочек (14 способов). По правилу произведения, общее число способов: $15 \times 14 = 210$. Или, используя формулу размещений: $A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$.

Ответ: 210.

в) мальчик-староста и девочка-заместитель

На должность старосты нужно выбрать одного из 12 мальчиков. Это можно сделать 12 способами. На должность заместителя нужно выбрать одну из 15 девочек. Это можно сделать 15 способами. Так как выборы независимы, по правилу произведения общее число способов равно: $12 \times 15 = 180$.

Ответ: 180.

г) девочка-староста и мальчик-заместитель

На должность старосты нужно выбрать одну из 15 девочек (15 способов). На должность заместителя нужно выбрать одного из 12 мальчиков (12 способов). По правилу произведения, общее число способов: $15 \times 12 = 180$.

Ответ: 180.

д) мальчик и девочка (старостой может быть и мальчик, и девочка)

Этот случай можно разбить на два непересекающихся варианта: 1. Староста — мальчик, а заместитель — девочка. 2. Староста — девочка, а заместитель — мальчик. Количество способов для первого варианта мы нашли в пункте в), оно равно 180. Количество способов для второго варианта мы нашли в пункте г), оно равно 180. По правилу суммы, общее число способов равно сумме способов для каждого варианта: $180 + 180 = 360$.

Ответ: 360.