Номер 751, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

751. Сколько решений в натуральных числах имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a + b = 5, \\ c + d = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 6? \end{cases}$

Для решения задачи необходимо найти количество пар натуральных чисел для каждого уравнения в системе, а затем перемножить эти количества, поскольку уравнения независимы друг от друга. Натуральными числами считаются положительные целые числа $ \{1, 2, 3, ...\} $.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 4 \\ c + d = 5 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 4$ в натуральных числах. Переменная $a$ может принимать значения от 1 до 3. Если $a=1$, то $b=3$. Если $a=2$, то $b=2$. Если $a=3$, то $b=1$. Всего получаем 3 пары: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Таким образом, у первого уравнения 3 решения.

2. Найдем количество решений для уравнения $c + d = 5$ в натуральных числах. Переменная $c$ может принимать значения от 1 до 4. Если $c=1$, то $d=4$. Если $c=2$, то $d=3$. Если $c=3$, то $d=2$. Если $c=4$, то $d=1$. Всего получаем 4 пары: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Таким образом, у второго уравнения 4 решения.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $3 \times 4 = 12$.

Ответ: 12

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 5 \\ c + d = 5 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 5$ в натуральных числах. Как мы выяснили в пункте а), такое уравнение имеет 4 решения: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

2. Уравнение $c + d = 5$ аналогично первому, поэтому оно также имеет 4 решения в натуральных числах.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $4 \times 4 = 16$.

Ответ: 16

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 4 \\ c + d = 6 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 4$ в натуральных числах. Как мы выяснили в пункте а), это уравнение имеет 3 решения: (1, 3), (2, 2), (3, 1).

2. Найдем количество решений для уравнения $c + d = 6$ в натуральных числах. Переменная $c$ может принимать значения от 1 до 5. Если $c=1$, то $d=5$. Если $c=2$, то $d=4$. Если $c=3$, то $d=3$. Если $c=4$, то $d=2$. Если $c=5$, то $d=1$. Всего получаем 5 пар: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Таким образом, у второго уравнения 5 решений.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15