Номер 755, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

755. Выпишите все возможные перестановки из четырёх букв и подсчитайте их количество ($P_4$).

Задача состоит из двух частей: сначала нужно подсчитать общее количество перестановок из четырёх элементов, а затем выписать все эти перестановки.

Подсчитайте их количество ($P_4$)

Перестановка — это комбинация, состоящая из одних и тех же $n$ различных элементов и отличающаяся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Для четырёх букв (то есть при $n=4$) количество перестановок будет равно:

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Таким образом, из четырёх различных букв можно составить 24 уникальные перестановки.

Выпишите все возможные перестановки из четырёх букв

Чтобы выписать все перестановки, возьмем для примера четыре буквы: А, Б, В, Г. Для того чтобы перечислить все варианты и не запутаться, будем делать это систематически, группируя перестановки по первой букве.

1. Перестановки, начинающиеся с буквы А:
АБВГ, АБГВ, АВБГ, АВГБ, АГБВ, АГВБ

2. Перестановки, начинающиеся с буквы Б:
БАВГ, БАГВ, БВАГ, БВГА, БГАВ, БГВА

3. Перестановки, начинающиеся с буквы В:
ВАБГ, ВАГБ, ВБАГ, ВБГА, ВГАБ, ВГБА

4. Перестановки, начинающиеся с буквы Г:
ГАБВ, ГАВБ, ГБАВ, ГБВА, ГВАБ, ГВБА

В каждой группе получилось по 6 перестановок, а всего их $4 \cdot 6 = 24$, что соответствует результату, полученному по формуле.

Ответ: Количество перестановок из четырёх букв равно 24. Все возможные перестановки (на примере букв А, Б, В, Г): АБВГ, АБГВ, АВБГ, АВГБ, АГБВ, АГВБ, БАВГ, БАГВ, БВАГ, БВГА, БГАВ, БГВА, ВАБГ, ВАГБ, ВБАГ, ВБГА, ВГАБ, ВГБА, ГАБВ, ГАВБ, ГБАВ, ГБВА, ГВАБ, ГВБА.