Страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

752. Что называют перестановкой из $n$ элементов?

Перестановкой из 𝑛 элементов называют любое упорядоченное множество (или, другими словами, последовательность), которое можно составить из данных 𝑛 элементов. Важно, что в каждой такой последовательности используются все 𝑛 элементов, и каждый из них — ровно один раз.

Главное, что отличает перестановки — это то, что порядок элементов имеет значение. Если поменять местами хотя бы два элемента, получится уже другая перестановка.

Пример:

Возьмём множество из трех элементов, например, цифр {1, 2, 3}. Мы хотим найти все возможные способы расставить их по порядку. Такими способами (перестановками) будут:

• (1, 2, 3)
• (1, 3, 2)
• (2, 1, 3)
• (2, 3, 1)
• (3, 1, 2)
• (3, 2, 1)

Всего получилось 6 различных перестановок из трех элементов.

Формула для вычисления числа перестановок:

Число всех возможных перестановок из 𝑛 элементов обозначается символом $P_n$ и вычисляется по формуле "эн факториал":

$P_n = n!$

Здесь $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Также по определению принято, что $0! = 1$.

Проверим формулу на нашем примере:

Для множества {1, 2, 3} у нас $n = 3$. Число перестановок будет:

$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Результат совпал с тем, который мы получили, перебирая все варианты вручную.

Ответ: Перестановкой из 𝑛 элементов называют любую упорядоченную последовательность, составленную из всех этих 𝑛 элементов. Число всех таких перестановок вычисляется как факториал числа элементов: $P_n = n!$.

753. Что обозначает и как читается запись:

а) $2!$;

б) $3!$;

в) $6!$;

г) $n!?$

Запись вида $n!$ называется факториалом числа $n$. Она обозначает произведение (результат умножения) всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Читается такая запись как «эн факториал». Факториал определён для целых неотрицательных чисел. По определению, $0! = 1$.

В комбинаторике факториал числа $n$ равен числу перестановок (то есть числу способов, которыми можно расположить в ряд) $n$ различных элементов.

а)

Запись $2!$ читается как «два факториал». Она обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до 2.

Вычисление: $2! = 1 \cdot 2 = 2$.

Это означает, что существует 2 способа переставить два различных объекта.

Ответ: Запись $2!$ читается «два факториал» и обозначает произведение $1 \cdot 2$, которое равно 2.

б)

Запись $3!$ читается как «три факториал». Она обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до 3.

Вычисление: $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Это означает, что существует 6 способов переставить три различных объекта.

Ответ: Запись $3!$ читается «три факториал» и обозначает произведение $1 \cdot 2 \cdot 3$, которое равно 6.

в)

Запись $6!$ читается как «шесть факториал». Она обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до 6.

Вычисление: $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Это означает, что существует 720 способов переставить шесть различных объектов.

Ответ: Запись $6!$ читается «шесть факториал» и обозначает произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$, которое равно 720.

г)

Запись $n!$ читается как «эн факториал», где $n$ — это любое целое неотрицательное число. Она обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

Общая формула для вычисления: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$.

Например, $n!$ — это ответ на вопрос «сколькими способами можно расставить $n$ разных книг на полке?».

Ответ: Запись $n!$ читается «эн факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно, то есть $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.

754. Выпишите все перестановки из цифр 1, 2, 3. Чему равно $P_3$?

Выпишите все перестановки из цифр 1, 2, 3.
Перестановкой из $n$ элементов называется любое их упорядоченное расположение. В данном случае у нас есть три элемента (цифры): 1, 2, 3. Нам нужно найти все возможные способы их расстановки по порядку.
Для того чтобы перечислить все перестановки, можно действовать систематически:
1. Начнем с цифры 1. За ней могут следовать 2 и 3 в порядке (2, 3) или (3, 2). Получаем перестановки: 123, 132.
2. Начнем с цифры 2. За ней могут следовать 1 и 3 в порядке (1, 3) или (3, 1). Получаем перестановки: 213, 231.
3. Начнем с цифры 3. За ней могут следовать 1 и 2 в порядке (1, 2) или (2, 1). Получаем перестановки: 312, 321.
Таким образом, всего существует 6 перестановок из цифр 1, 2, 3.
Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Чему равно P₃?
Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n!$
где $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.
В нашем случае мы имеем 3 элемента, поэтому $n=3$. Вычисляем $P_3$:
$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Результат совпадает с количеством перестановок, которые были выписаны в первой части задания.
Ответ: 6.

755. Выпишите все возможные перестановки из четырёх букв и подсчитайте их количество ($P_4$).

Задача состоит из двух частей: сначала нужно подсчитать общее количество перестановок из четырёх элементов, а затем выписать все эти перестановки.

Подсчитайте их количество ($P_4$)

Перестановка — это комбинация, состоящая из одних и тех же $n$ различных элементов и отличающаяся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Для четырёх букв (то есть при $n=4$) количество перестановок будет равно:

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Таким образом, из четырёх различных букв можно составить 24 уникальные перестановки.

Выпишите все возможные перестановки из четырёх букв

Чтобы выписать все перестановки, возьмем для примера четыре буквы: А, Б, В, Г. Для того чтобы перечислить все варианты и не запутаться, будем делать это систематически, группируя перестановки по первой букве.

1. Перестановки, начинающиеся с буквы А:
АБВГ, АБГВ, АВБГ, АВГБ, АГБВ, АГВБ

2. Перестановки, начинающиеся с буквы Б:
БАВГ, БАГВ, БВАГ, БВГА, БГАВ, БГВА

3. Перестановки, начинающиеся с буквы В:
ВАБГ, ВАГБ, ВБАГ, ВБГА, ВГАБ, ВГБА

4. Перестановки, начинающиеся с буквы Г:
ГАБВ, ГАВБ, ГБАВ, ГБВА, ГВАБ, ГВБА

В каждой группе получилось по 6 перестановок, а всего их $4 \cdot 6 = 24$, что соответствует результату, полученному по формуле.

Ответ: Количество перестановок из четырёх букв равно 24. Все возможные перестановки (на примере букв А, Б, В, Г): АБВГ, АБГВ, АВБГ, АВГБ, АГБВ, АГВБ, БАВГ, БАГВ, БВАГ, БВГА, БГАВ, БГВА, ВАБГ, ВАГБ, ВБАГ, ВБГА, ВГАБ, ВГБА, ГАБВ, ГАВБ, ГБАВ, ГБВА, ГВАБ, ГВБА.

756. Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл да Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. Выясните, сколькими способами они могут сесть со своими инструментами на четыре места.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа перестановок. Необходимо определить, сколькими способами можно расположить 4 различных персонажей (Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл да Косолапый Мишка) на 4 различных местах. Поскольку порядок расположения важен, то есть кому какое место достанется, мы ищем общее количество перестановок.

Рассчитать количество способов можно, рассуждая последовательно:

На первое место может сесть любой из четырёх персонажей. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.
Когда первое место занято, на второе место может сесть любой из оставшихся трёх персонажей. Для второго места есть 3 варианта.
Для третьего места остаётся выбор из двух персонажей, то есть 2 варианта.
Наконец, на четвёртое место сядет последний оставшийся персонаж, что даёт только 1 вариант.

Чтобы найти общее число возможных способов рассадки, нужно перемножить число вариантов для каждого места. Это является применением основного правила комбинаторики — правила умножения.

Общее число способов вычисляется как произведение: $4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это произведение называется факториалом числа 4 и обозначается как $4!$. В общем виде, число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=4$.

$P_4 = 4! = 24$

Следовательно, существует 24 различных способа, которыми герои басни могут сесть на четыре места.

Ответ: 24.

757. Вычислите:

а) $P_5$;

б) $P_6$;

в) $P_7$.

В данной задаче требуется вычислить значения $P_n$, что является обозначением для числа перестановок из $n$ элементов. Число перестановок вычисляется по формуле факториала: $P_n = n!$, где $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.

а)

Необходимо вычислить $P_5$. По определению, $P_5$ равно факториалу числа 5.

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Выполним последовательное умножение:

$5 \cdot 4 = 20$

$20 \cdot 3 = 60$

$60 \cdot 2 = 120$

$120 \cdot 1 = 120$

Таким образом, $P_5 = 120$.

Ответ: 120.

б)

Необходимо вычислить $P_6$. По определению, $P_6$ равно факториалу числа 6.

$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Можно заметить, что $6! = 6 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 6 \cdot 5!$. Так как из предыдущего пункта нам известно, что $5! = 120$, то:

$P_6 = 6 \cdot 120 = 720$.

Ответ: 720.

в)

Необходимо вычислить $P_7$. По определению, $P_7$ равно факториалу числа 7.

$P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся уже вычисленным значением $6!$, так как $7! = 7 \cdot 6!$. Из пункта б) мы знаем, что $6! = 720$.

$P_7 = 7 \cdot 720$.

Выполним умножение: $7 \cdot 720 = 7 \cdot (700 + 20) = 7 \cdot 700 + 7 \cdot 20 = 4900 + 140 = 5040$.

Таким образом, $P_7 = 5040$.

Ответ: 5040.

758. Верно ли, что:

а) $P_5 = 5 \cdot P_4$;

б) $P_6 = 6 \cdot P_5$;

в) $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$;

г) $P_n = n \cdot P_{n-1}$?

Для решения данной задачи воспользуемся определением числа перестановок из $n$ элементов. Число перестановок $P_n$ (количество способов, которыми можно упорядочить $n$ различных элементов) вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Ключевым свойством факториала является рекуррентное соотношение:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Это означает, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$. Проверим каждое утверждение, используя это свойство.

а) Верно ли, что $P_5 = 5 \cdot P_4$?

По определению, $P_5 = 5!$ и $P_4 = 4!$.

Левая часть: $P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Правая часть: $5 \cdot P_4 = 5 \cdot 4! = 5 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5 \cdot 24 = 120$.

Так как $120 = 120$, равенство верно. Это частный случай свойства $P_n = n \cdot P_{n-1}$ при $n=5$.

Ответ: верно.

б) Верно ли, что $P_6 = 6 \cdot P_5$?

По определению, $P_6 = 6!$ и $P_5 = 5!$.

Используем рекуррентное свойство факториала: $6! = 6 \cdot 5!$.

Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_6 = 6 \cdot P_5$.

Рассчитаем значения для проверки: $P_6 = 720$, а $6 \cdot P_5 = 6 \cdot 120 = 720$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

в) Верно ли, что $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$?

По определению, $P_{100} = 100!$ и $P_{99} = 99!$.

Согласно рекуррентному свойству факториала: $100! = 100 \cdot 99!$.

Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

г) Верно ли, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$?

Это утверждение является общей формулой, которая связывает число перестановок для $n$ и $n-1$ элементов.

По определению, $P_n = n!$ и $P_{n-1} = (n-1)!$.

Подставим эти определения в равенство:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Это равенство является основным рекуррентным свойством факториала и верно для любого натурального числа $n \ge 1$. Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: верно.

759. Вычислите:

а) $P_{10} : P_9;$

б) $P_{50} : P_{49};$

в) $P_{20} : P_{18}.$

В данной задаче используется понятие числа перестановок из n элементов, которое обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

где $n!$ - это факториал числа $n$.

Для решения задачи понадобится основное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

а) $P_{10} : P_9$

Требуется найти отношение числа перестановок из 10 элементов к числу перестановок из 9 элементов. Запишем это отношение, используя формулу для числа перестановок:

$P_{10} : P_9 = \frac{P_{10}}{P_9} = \frac{10!}{9!}$

Используя свойство факториала, представим $10!$ как $10 \cdot 9!$:

$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} = 10$

Ответ: 10

б) $P_{50} : P_{49}$

Найдем отношение числа перестановок из 50 элементов к числу перестановок из 49 элементов.

$P_{50} : P_{49} = \frac{P_{50}}{P_{49}} = \frac{50!}{49!}$

Представим $50!$ как $50 \cdot 49!$:

$\frac{50!}{49!} = \frac{50 \cdot 49!}{49!}$

Сократим $49!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{50 \cdot \cancel{49!}}{\cancel{49!}} = 50$

Ответ: 50

в) $P_{20} : P_{18}$

Найдем отношение числа перестановок из 20 элементов к числу перестановок из 18 элементов.

$P_{20} : P_{18} = \frac{P_{20}}{P_{18}} = \frac{20!}{18!}$

Используя свойство факториала дважды, представим $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18!$:

$\frac{20!}{18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!}$

Сократим $18!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{20 \cdot 19 \cdot \cancel{18!}}{\cancel{18!}} = 20 \cdot 19$

Вычислим произведение:

$20 \cdot 19 = 380$

Ответ: 380

760. У кассира автобуса имеются для продажи билеты на автобус с номерами от 000000 до 999999. Сколько номеров билетов из этого набора записаны цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторения?

По условию, номера билетов являются шестизначными числами (от 000000 до 999999). Нам нужно найти, сколько из этих номеров можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем каждая цифра должна быть использована ровно один раз (без повторений).

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 6 различных элементов. Перестановка — это упорядоченный набор элементов. В нашем случае элементами являются цифры {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а позициями — разряды шестизначного номера.

Рассуждаем следующим образом: На первую позицию в номере билета мы можем поставить любую из 6 данных цифр. После того как первая цифра выбрана, на вторую позицию остается 5 вариантов (так как цифры не могут повторяться). На третью позицию — 4 оставшихся варианта. На четвертую — 3 варианта. На пятую — 2 варианта. И на последнюю, шестую позицию, остается только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество таких номеров, нужно перемножить число возможных вариантов для каждой позиции. Это соответствует вычислению факториала числа 6.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле: $P_n = n!$

Для нашей задачи $n=6$. Вычислим количество возможных номеров билетов: $P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

Таким образом, существует 720 способов составить шестизначный номер из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений.

Ответ: 720.