Страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

769. Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два. Чему равно $C_5^2$?

Выпишем все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два.

Сочетание — это набор элементов из множества, в котором их порядок не имеет значения. Это означает, что набор {$x_1, x_2$} и набор {$x_2, x_1$} являются одним и тем же сочетанием.

Нам дано множество из пяти элементов: {$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$}. Мы должны составить все возможные уникальные пары (сочетания по два элемента).

Систематически перечислим все такие пары:
1. Начнем с элемента $x_1$ и составим пары со всеми последующими элементами: {$x_1, x_2$}, {$x_1, x_3$}, {$x_1, x_4$}, {$x_1, x_5$}.
2. Теперь возьмем элемент $x_2$ и составим пары с последующими элементами (пару с $x_1$ уже учли): {$x_2, x_3$}, {$x_2, x_4$}, {$x_2, x_5$}.
3. Далее, для элемента $x_3$ (пары с $x_1$ и $x_2$ уже есть): {$x_3, x_4$}, {$x_3, x_5$}.
4. И, наконец, для элемента $x_4$ осталась одна пара: {$x_4, x_5$}.

Всего получилось 4 + 3 + 2 + 1 = 10 сочетаний.

Ответ: {$x_1, x_2$}, {$x_1, x_3$}, {$x_1, x_4$}, {$x_1, x_5$}, {$x_2, x_3$}, {$x_2, x_4$}, {$x_2, x_5$}, {$x_3, x_4$}, {$x_3, x_5$}, {$x_4, x_5$}.

Чему равно $C_5^2$?

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ и находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в одном сочетании.

В нашем случае $n=5$ и $k=2$. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$

Теперь раскроем факториалы и проведем вычисления. Можно сократить $3!$ в числителе и знаменателе:

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Результат вычисления, 10, совпадает с количеством сочетаний, которые были выписаны вручную в первой части задачи.

Ответ: 10.

770. Вычислите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^4$;

в) $C_5^3$;

г) $C_7^4$;

д) $C_7^5$;

е) $C_8^6$.

Для решения данной задачи необходимо вычислить значения биномиальных коэффициентов, или числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Также полезно помнить свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$, которое часто упрощает вычисления.

a) Вычислим $C_4^3$.

Здесь $n=4$ и $k=3$. Применим формулу:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{24}{6} = 4$.

Используя свойство симметрии, получаем тот же результат: $C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4

б) Вычислим $C_5^4$.

Здесь $n=5$ и $k=4$. Проще всего использовать свойство симметрии:

$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5}{1} = 5$.

Прямой расчет по основной формуле дает: $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5$.

Ответ: 5

в) Вычислим $C_5^3$.

Здесь $n=5$ и $k=3$. Подставляем значения в формулу:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

г) Вычислим $C_7^4$.

Здесь $n=7$ и $k=4$. Расчет по формуле:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$.

Ответ: 35

д) Вычислим $C_7^5$.

Здесь $n=7$ и $k=5$. Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии: $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Теперь вычислим $C_7^2$:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Ответ: 21

e) Вычислим $C_8^6$.

Здесь $n=8$ и $k=6$. Применим свойство симметрии: $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$.

Вычислим $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28

Доказываем (771-772).

771. Докажите формулу: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

771.

Для доказательства формулы числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ воспользуемся комбинаторными рассуждениями и установим связь между сочетаниями и размещениями.

По определению, числом сочетаний из $n$ элементов по $k$, обозначаемым $C_n^k$, является количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учёта порядка выбора.

С другой стороны, число размещений из $n$ элементов по $k$, обозначаемое $A_n^k$, — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ и расположить их в определённом порядке. Вычислим $A_n^k$. Первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй — $(n-1)$ способами (так как один элемент уже выбран), и так далее, до $k$-го элемента, который можно выбрать $(n-k+1)$ способами. По правилу произведения, общее число размещений равно:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Эту формулу можно записать с использованием факториалов. Для этого умножим и разделим правую часть на $(n-k)!$:

$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$

Теперь установим связь между размещениями и сочетаниями. Процесс создания одного размещения (упорядоченного набора из $k$ элементов) можно представить как выполнение двух последовательных шагов:

1. Сначала мы выбираем $k$ элементов из $n$ без учёта их порядка. По определению, количество способов это сделать равно $C_n^k$.

2. Затем мы упорядочиваем эти $k$ выбранных элементов. Число способов упорядочить (переставить) $k$ различных элементов равно числу перестановок из $k$ элементов, то есть $k!$.

По правилу произведения, общее число размещений $A_n^k$ равно произведению числа способов совершить первый шаг на число способов совершить второй шаг:

$A_n^k = C_n^k \cdot k!$

Из этого равенства выразим $C_n^k$:

$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$

Теперь подставим в эту формулу ранее полученное выражение для $A_n^k$ через факториалы:

$C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}$

Упростив это выражение, получаем искомую формулу:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ доказана путём установления связи между числом сочетаний и числом размещений ($A_n^k = C_n^k \cdot k!$) и последующей подстановкой формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

772. Докажите, что $C_n^k = C_n^{n-k}$. Вычислите:

а) $C_{10}^9$;

б) $C_{10}^8$;

в) $C_{12}^{10}$;

г) $C_{12}^{11}$;

д) $C_{200}^{199}$;

е) $C_{1998}^{1997}$.

Доказательство тождества $C_n^k = C_n^{n-k}$

Для доказательства воспользуемся определением числа сочетаний, которое выражается формулой: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства $C_n^{n-k}$. Подставим в формулу числа сочетаний вместо $k$ выражение $n-k$: $C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}$

Упростим выражение в скобках в знаменателе: $n-(n-k) = n - n + k = k$

Таким образом, получаем: $C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Поскольку от перемены мест множителей произведение не меняется ($k!(n-k)! = (n-k)!k!$), то полученное выражение для $C_n^{n-k}$ идентично выражению для $C_n^k$. Следовательно, $C_n^k = C_n^{n-k}$, что и требовалось доказать.

Это свойство симметричности также имеет комбинаторный смысл: количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов, которые не будут включены в выборку.

Теперь вычислим заданные значения, используя это свойство для упрощения расчетов.

а) Вычислим $C_{10}^9$.
Используя свойство симметричности: $C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$.
$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
Ответ: 10

б) Вычислим $C_{10}^8$.
Используя свойство симметричности: $C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2$.
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$.
Ответ: 45

в) Вычислим $C_{12}^{10}$.
Используя свойство симметричности: $C_{12}^{10} = C_{12}^{12-10} = C_{12}^2$.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66$.
Ответ: 66

г) Вычислим $C_{12}^{11}$.
Используя свойство симметричности: $C_{12}^{11} = C_{12}^{12-11} = C_{12}^1$.
$C_{12}^1 = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1 \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 11!}{11!} = 12$.
Ответ: 12

д) Вычислим $C_{200}^{199}$.
Используя свойство симметричности: $C_{200}^{199} = C_{200}^{200-199} = C_{200}^1$.
В общем случае $C_n^1 = n$, поэтому $C_{200}^1 = 200$.
Ответ: 200

е) Вычислим $C_{1998}^{1997}$.
Используя свойство симметричности: $C_{1998}^{1997} = C_{1998}^{1998-1997} = C_{1998}^1$.
$C_{1998}^1 = 1998$.
Ответ: 1998

773. a) Сколькими способами можно распределить две одинаковые путёвки между пятью лицами?

б) Сколькими способами можно присудить трём лицам из шести три одинаковые премии?

а)

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к сочетаниям с повторениями. Нам нужно распределить $k=2$ одинаковые путёвки между $n=5$ лицами. Поскольку путёвки одинаковы, порядок их вручения не важен. Важно лишь, сколько путёвок получит каждый человек. Один человек может получить обе путёвки, одну или ни одной.

Число сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$ \bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $

В нашем случае $n=5$ (количество лиц), а $k=2$ (количество путёвок). Подставим эти значения в формулу:

$ \bar{C}_5^2 = C_{5+2-1}^2 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 $

Это можно понять и так: есть два варианта распределения.
1. Обе путёвки достаются разным людям. Это число сочетаний без повторений $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$.
2. Обе путёвки достаются одному человеку. Таких вариантов 5 (по числу лиц).
Итого: $10 + 5 = 15$ способов.

Ответ: 15.

б)

В этой задаче нам нужно выбрать 3 человека из 6, которые получат премии. Поскольку все три премии одинаковые, порядок, в котором мы выбираем этих трёх счастливчиков, не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из трёх человек.

Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний без повторений из $n=6$ элементов (общее число лиц) по $k=3$ (число награждаемых лиц).

Формула для числа сочетаний без повторений:

$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

Подставим наши значения $n=6$ и $k=3$:

$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $

Таким образом, существует 20 различных групп по три человека, которые можно составить из шести человек для вручения премий.

Ответ: 20.

774. Из восьми фильмов жюри конкурса может отобрать трёх финалистов. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 3 фильма из 8. Поскольку порядок, в котором отбираются фильмы-финалисты, не имеет значения, мы имеем дело с сочетаниями из $n$ элементов по $k$.

Формула для вычисления числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее количество элементов (фильмов) $n = 8$, а количество элементов, которые нужно выбрать (финалистов), $k = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$

Для удобства вычислений распишем факториалы и проведем сокращение:

$C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$

Теперь выполним вычисления:

$C_8^3 = \frac{336}{6} = 56$

Таким образом, существует 56 способов отобрать трёх финалистов из восьми фильмов.

Ответ: 56

775. Из 27 учащихся класса нужно выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Эта задача относится к области комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 человека из 27, при этом порядок выбора не важен. Если выбраны ученик Иванов и ученик Петров, это та же самая пара, что и Петров и Иванов. Следовательно, мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче:

• общее число учащихся $n = 27$;
• число дежурных, которых нужно выбрать, $k = 2$.

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{27}^2 = \frac{27!}{2!(27-2)!} = \frac{27!}{2! \cdot 25!}$

Теперь упростим выражение, раскрыв факториалы. Мы знаем, что $27! = 27 \cdot 26 \cdot 25!$ и $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

$C_{27}^2 = \frac{27 \cdot 26 \cdot 25!}{2 \cdot 25!}$

Сокращаем $25!$ в числителе и знаменателе:

$C_{27}^2 = \frac{27 \cdot 26}{2}$

Выполняем вычисление:

$C_{27}^2 = 27 \cdot 13 = 351$

Таким образом, существует 351 способ выбрать двух дежурных из 27 учащихся класса.

Ответ: 351