Номер 772, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

772. Докажите, что $C_n^k = C_n^{n-k}$. Вычислите:

а) $C_{10}^9$;

б) $C_{10}^8$;

в) $C_{12}^{10}$;

г) $C_{12}^{11}$;

д) $C_{200}^{199}$;

е) $C_{1998}^{1997}$.

Доказательство тождества $C_n^k = C_n^{n-k}$

Для доказательства воспользуемся определением числа сочетаний, которое выражается формулой: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства $C_n^{n-k}$. Подставим в формулу числа сочетаний вместо $k$ выражение $n-k$: $C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}$

Упростим выражение в скобках в знаменателе: $n-(n-k) = n - n + k = k$

Таким образом, получаем: $C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Поскольку от перемены мест множителей произведение не меняется ($k!(n-k)! = (n-k)!k!$), то полученное выражение для $C_n^{n-k}$ идентично выражению для $C_n^k$. Следовательно, $C_n^k = C_n^{n-k}$, что и требовалось доказать.

Это свойство симметричности также имеет комбинаторный смысл: количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов, которые не будут включены в выборку.

Теперь вычислим заданные значения, используя это свойство для упрощения расчетов.

а) Вычислим $C_{10}^9$.
Используя свойство симметричности: $C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$.
$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
Ответ: 10

б) Вычислим $C_{10}^8$.
Используя свойство симметричности: $C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2$.
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$.
Ответ: 45

в) Вычислим $C_{12}^{10}$.
Используя свойство симметричности: $C_{12}^{10} = C_{12}^{12-10} = C_{12}^2$.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66$.
Ответ: 66

г) Вычислим $C_{12}^{11}$.
Используя свойство симметричности: $C_{12}^{11} = C_{12}^{12-11} = C_{12}^1$.
$C_{12}^1 = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1 \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 11!}{11!} = 12$.
Ответ: 12

д) Вычислим $C_{200}^{199}$.
Используя свойство симметричности: $C_{200}^{199} = C_{200}^{200-199} = C_{200}^1$.
В общем случае $C_n^1 = n$, поэтому $C_{200}^1 = 200$.
Ответ: 200

е) Вычислим $C_{1998}^{1997}$.
Используя свойство симметричности: $C_{1998}^{1997} = C_{1998}^{1998-1997} = C_{1998}^1$.
$C_{1998}^1 = 1998$.
Ответ: 1998