Номер 773, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

773. a) Сколькими способами можно распределить две одинаковые путёвки между пятью лицами?

б) Сколькими способами можно присудить трём лицам из шести три одинаковые премии?

а)

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к сочетаниям с повторениями. Нам нужно распределить $k=2$ одинаковые путёвки между $n=5$ лицами. Поскольку путёвки одинаковы, порядок их вручения не важен. Важно лишь, сколько путёвок получит каждый человек. Один человек может получить обе путёвки, одну или ни одной.

Число сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$ \bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $

В нашем случае $n=5$ (количество лиц), а $k=2$ (количество путёвок). Подставим эти значения в формулу:

$ \bar{C}_5^2 = C_{5+2-1}^2 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 $

Это можно понять и так: есть два варианта распределения.
1. Обе путёвки достаются разным людям. Это число сочетаний без повторений $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$.
2. Обе путёвки достаются одному человеку. Таких вариантов 5 (по числу лиц).
Итого: $10 + 5 = 15$ способов.

Ответ: 15.

б)

В этой задаче нам нужно выбрать 3 человека из 6, которые получат премии. Поскольку все три премии одинаковые, порядок, в котором мы выбираем этих трёх счастливчиков, не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из трёх человек.

Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний без повторений из $n=6$ элементов (общее число лиц) по $k=3$ (число награждаемых лиц).

Формула для числа сочетаний без повторений:

$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

Подставим наши значения $n=6$ и $k=3$:

$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $

Таким образом, существует 20 различных групп по три человека, которые можно составить из шести человек для вручения премий.

Ответ: 20.