Номер 768, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

768. У кассира автобуса имеются для продажи билеты на автобус с номерами от 000000 до 999999. Счастливым назовём билет, у которого сумма первых трёх цифр совпадает с суммой последних трёх цифр.

а) Сколько существует счастливых билетов, у которых сумма всех цифр равна 0; 2; 4; 6; 8?

б) Сколько всего счастливых билетов у кассира?

Номер автобусного билета представляет собой шестизначное число от 000000 до 999999. Обозначим его как $d_1d_2d_3d_4d_5d_6$.

Согласно условию, билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр: $d_1+d_2+d_3 = d_4+d_5+d_6$.

Пусть $k$ – это общая сумма для каждой тройки цифр, т.е. $k = d_1+d_2+d_3 = d_4+d_5+d_6$. Обозначим через $N(k)$ количество способов представить число $k$ в виде суммы трёх цифр (каждая цифра от 0 до 9).

Тогда для определённого значения суммы $k$, количество счастливых билетов будет равно $(N(k))^2$, так как существует $N(k)$ вариантов для первой тройки цифр и $N(k)$ независимых вариантов для второй тройки.

а) Сколько существует счастливых билетов, у которых сумма всех цифр равна 0; 2; 4; 6; 8?

Сумма всех шести цифр $S$ для счастливого билета равна $S = (d_1+d_2+d_3) + (d_4+d_5+d_6) = k + k = 2k$. Следовательно, сумма всех цифр счастливого билета всегда является чётным числом. Значение суммы для каждой тройки цифр равно $k = S/2$.

Найдём количество счастливых билетов для каждого из заданных значений $S$.

• Сумма всех цифр равна 0:

  $S=0$, значит $k = 0/2 = 0$. Нам нужно найти количество способов $N(0)$ получить сумму 0 из трёх цифр. Единственный способ – это 0+0+0=0. Таким образом, $N(0) = 1$. Количество счастливых билетов: $(N(0))^2 = 1^2 = 1$. Это билет 000000.

• Сумма всех цифр равна 2:

  $S=2$, значит $k = 2/2 = 1$. Найдём $N(1)$. Сумму 1 можно получить комбинациями цифр (1, 0, 0). Существует 3 перестановки этих цифр: 100, 010, 001. Таким образом, $N(1) = 3$. Количество счастливых билетов: $(N(1))^2 = 3^2 = 9$.

• Сумма всех цифр равна 4:

  $S=4$, значит $k = 4/2 = 2$. Найдём $N(2)$. Сумму 2 можно получить комбинациями (2, 0, 0) (3 перестановки) и (1, 1, 0) (3 перестановки). Всего $N(2) = 3+3 = 6$. Количество счастливых билетов: $(N(2))^2 = 6^2 = 36$.

• Сумма всех цифр равна 6:

  $S=6$, значит $k = 6/2 = 3$. Найдём $N(3)$. Сумму 3 можно получить комбинациями (3, 0, 0) (3 перестановки), (2, 1, 0) ( $3! = 6$ перестановок) и (1, 1, 1) (1 перестановка). Всего $N(3) = 3+6+1 = 10$. Количество счастливых билетов: $(N(3))^2 = 10^2 = 100$.

• Сумма всех цифр равна 8:

  $S=8$, значит $k = 8/2 = 4$. Найдём $N(4)$. Сумму 4 можно получить комбинациями (4, 0, 0) (3 перестановки), (3, 1, 0) (6 перестановок), (2, 2, 0) (3 перестановки), (2, 1, 1) (3 перестановки). Всего $N(4) = 3+6+3+3 = 15$. Количество счастливых билетов: $(N(4))^2 = 15^2 = 225$.

Для небольших $k$ (когда $k \le 9$), $N(k)$ можно вычислить по формуле для сочетаний с повторениями: $N(k) = \binom{k+3-1}{3-1} = \binom{k+2}{2}$.

Ответ: Если сумма всех цифр равна 0, существует 1 счастливый билет. Если сумма равна 2 – 9 билетов. Если сумма равна 4 – 36 билетов. Если сумма равна 6 – 100 билетов. Если сумма равна 8 – 225 билетов.

б) Сколько всего счастливых билетов у кассира?

Чтобы найти общее количество счастливых билетов, нужно просуммировать квадраты чисел $N(k)$ по всем возможным значениям суммы $k$. Минимальная сумма трёх цифр – 0 (0+0+0), максимальная – 27 (9+9+9). Таким образом, $k$ может принимать значения от 0 до 27.

Общее количество счастливых билетов равно $\sum_{k=0}^{27} (N(k))^2$.

Число $N(k)$ – это количество целочисленных решений уравнения $d_1+d_2+d_3 = k$ при ограничениях $0 \le d_i \le 9$. Его можно найти с помощью метода производящих функций. Формула для $N(k)$ имеет вид:

$N(k) = \binom{k+2}{2} - 3\binom{k-8}{2} + 3\binom{k-18}{2} - \binom{k-28}{2}$

где $\binom{n}{r} = 0$, если $n < r$.

Существует свойство симметрии: количество способов получить сумму $k$ равно количеству способов получить сумму $27-k$. То есть, $N(k) = N(27-k)$. Например, $N(0)=1$ и $N(27)=1$; $N(1)=3$ и $N(26)=3$.

Используя это свойство, сумму можно упростить:

$\sum_{k=0}^{27} (N(k))^2 = (N(0)^2 + ... + N(13)^2) + (N(14)^2 + ... + N(27)^2)$

Так как $N(14) = N(27-14) = N(13)$, $N(15) = N(12)$ и так далее, вторая часть суммы равна первой:

$\sum_{k=0}^{27} (N(k))^2 = 2 \sum_{k=0}^{13} (N(k))^2$

Вычислим значения $N(k)$ и $(N(k))^2$ для $k$ от 0 до 13:

• $k=0: N(0) = 1, N(0)^2=1$
• $k=1: N(1) = 3, N(1)^2=9$
• $k=2: N(2) = 6, N(2)^2=36$
• $k=3: N(3) = 10, N(3)^2=100$
• $k=4: N(4) = 15, N(4)^2=225$
• $k=5: N(5) = 21, N(5)^2=441$
• $k=6: N(6) = 28, N(6)^2=784$
• $k=7: N(7) = 36, N(7)^2=1296$
• $k=8: N(8) = 45, N(8)^2=2025$
• $k=9: N(9) = 55, N(9)^2=3025$
• $k=10: N(10) = 63, N(10)^2=3969$
• $k=11: N(11) = 69, N(11)^2=4761$
• $k=12: N(12) = 73, N(12)^2=5329$
• $k=13: N(13) = 75, N(13)^2=5625$

Теперь просуммируем квадраты:

$\sum_{k=0}^{13} (N(k))^2 = 1 + 9 + 36 + 100 + 225 + 441 + 784 + 1296 + 2025 + 3025 + 3969 + 4761 + 5329 + 5625 = 27626$.

Общее количество счастливых билетов:

$2 \times 27626 = 55252$.

Ответ: Всего у кассира 55252 счастливых билета.