Номер 764, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

13.4. Размещения. Параграф 13. Комбинаторика. Глава 5. Элементы приближённых вычислений, статистики, комбинаторики и теории вероятностей - номер 764, страница 230.

Условие.

764. a) Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две разные путёвки?

б) Сколькими способами можно присудить трём лицам из шести три разные премии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) В данной задаче требуется найти число способов распределить 2 разные путёвки среди 6 человек. Поскольку путёвки разные, важен не только факт получения путёвки, но и то, какая именно путёвка достанется человеку. Это означает, что порядок важен. Также, по смыслу задачи, один человек не может получить обе путёвки. Следовательно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Рассуждать можно следующим образом:

1. Первую путёвку можно отдать любому из 6 человек. Существует 6 вариантов.

2. После того как первая путёвка отдана, остаётся 5 человек, которые могут получить вторую путёвку. Существует 5 вариантов.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого шага:

$N = 6 \times 5 = 30$

Это же решение можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае, $n=6$ (общее количество людей) и $k=2$ (количество путёвок). Подставляем значения в формулу:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30$

Ответ: 30.

б) Эта задача аналогична предыдущей. Необходимо присудить 3 разные премии трём людям, выбранным из шести. Так как премии разные, то важен порядок их распределения. Это снова задача на размещения без повторений.

Рассуждаем по шагам:

1. Первую премию можно присудить любому из 6 человек (6 вариантов).

2. Вторую премию можно присудить любому из оставшихся 5 человек (5 вариантов).

3. Третью премию можно присудить любому из оставшихся 4 человек (4 варианта).

Общее число способов по правилу умножения:

$N = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$, где $n=6$ и $k=3$:

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Ответ: 120.