Номер 764, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

764. a) Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две разные путёвки?

б) Сколькими способами можно присудить трём лицам из шести три разные премии?

а) В данной задаче требуется найти число способов распределить 2 разные путёвки среди 6 человек. Поскольку путёвки разные, важен не только факт получения путёвки, но и то, какая именно путёвка достанется человеку. Это означает, что порядок важен. Также, по смыслу задачи, один человек не может получить обе путёвки. Следовательно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Рассуждать можно следующим образом:

1. Первую путёвку можно отдать любому из 6 человек. Существует 6 вариантов.

2. После того как первая путёвка отдана, остаётся 5 человек, которые могут получить вторую путёвку. Существует 5 вариантов.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого шага:

$N = 6 \times 5 = 30$

Это же решение можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае, $n=6$ (общее количество людей) и $k=2$ (количество путёвок). Подставляем значения в формулу:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30$

Ответ: 30.

б) Эта задача аналогична предыдущей. Необходимо присудить 3 разные премии трём людям, выбранным из шести. Так как премии разные, то важен порядок их распределения. Это снова задача на размещения без повторений.

Рассуждаем по шагам:

1. Первую премию можно присудить любому из 6 человек (6 вариантов).

2. Вторую премию можно присудить любому из оставшихся 5 человек (5 вариантов).

3. Третью премию можно присудить любому из оставшихся 4 человек (4 варианта).

Общее число способов по правилу умножения:

$N = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$, где $n=6$ и $k=3$:

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Ответ: 120.