Номер 763, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

763. Доказываем. Докажите формулу: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Доказываем. Числом размещений из $n$ элементов по $k$, которое обозначается $A_n^k$, называется количество способов составить упорядоченные наборы (кортежи) длины $k$ из множества, содержащего $n$ различных элементов. Докажем формулу для вычисления этого числа, исходя из его комбинаторного смысла.

Будем формировать упорядоченный набор (размещение) последовательно, выбирая по одному элементу на каждую позицию от 1-й до $k$-й.
Для выбора первого элемента набора есть $n$ способов, так как можно взять любой из $n$ элементов исходного множества.
После того как первый элемент выбран, для выбора второго элемента остается $n-1$ способ, так как один элемент уже занят и не может быть выбран повторно.
Аналогично, для выбора третьего элемента остается $n-2$ способа.
Продолжая эту логику, для выбора последнего, $k$-го элемента, у нас останется $n - (k-1) = n - k + 1$ способов.

По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов составить такой упорядоченный набор равно произведению числа способов выбора для каждой позиции:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Теперь преобразуем полученное выражение к виду с факториалами. Напомним, что факториал числа $m$ ($m!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $m$.
Умножим и разделим наше выражение на $(n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$. Это не изменит значения выражения.
$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе дроби теперь находится произведение всех натуральных чисел от $n$ до 1, что по определению равно $n!$.
$n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 = n!$
Знаменатель остался равен $(n-k)!$.

Таким образом, мы приходим к искомой формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.