Номер 758, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

758. Верно ли, что:

а) $P_5 = 5 \cdot P_4$;

б) $P_6 = 6 \cdot P_5$;

в) $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$;

г) $P_n = n \cdot P_{n-1}$?

Для решения данной задачи воспользуемся определением числа перестановок из $n$ элементов. Число перестановок $P_n$ (количество способов, которыми можно упорядочить $n$ различных элементов) вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Ключевым свойством факториала является рекуррентное соотношение:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Это означает, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$. Проверим каждое утверждение, используя это свойство.

а) Верно ли, что $P_5 = 5 \cdot P_4$?

По определению, $P_5 = 5!$ и $P_4 = 4!$.

Левая часть: $P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Правая часть: $5 \cdot P_4 = 5 \cdot 4! = 5 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5 \cdot 24 = 120$.

Так как $120 = 120$, равенство верно. Это частный случай свойства $P_n = n \cdot P_{n-1}$ при $n=5$.

Ответ: верно.

б) Верно ли, что $P_6 = 6 \cdot P_5$?

По определению, $P_6 = 6!$ и $P_5 = 5!$.

Используем рекуррентное свойство факториала: $6! = 6 \cdot 5!$.

Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_6 = 6 \cdot P_5$.

Рассчитаем значения для проверки: $P_6 = 720$, а $6 \cdot P_5 = 6 \cdot 120 = 720$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

в) Верно ли, что $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$?

По определению, $P_{100} = 100!$ и $P_{99} = 99!$.

Согласно рекуррентному свойству факториала: $100! = 100 \cdot 99!$.

Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

г) Верно ли, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$?

Это утверждение является общей формулой, которая связывает число перестановок для $n$ и $n-1$ элементов.

По определению, $P_n = n!$ и $P_{n-1} = (n-1)!$.

Подставим эти определения в равенство:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Это равенство является основным рекуррентным свойством факториала и верно для любого натурального числа $n \ge 1$. Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: верно.