Номер 765, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

765. В турнире участвуют семь шахматистов. Сколькими способами могут распределиться между ними три первых места (каждое место должен занять один шахматист)?

Данная задача относится к разделу комбинаторики, а именно к задачам на размещения без повторений. Нам необходимо найти количество способов, которыми можно выбрать 3-х человек из 7 и расставить их по трем призовым местам. Поскольку призовые места (первое, второе и третье) различны, порядок, в котором выбираются шахматисты, имеет значение.

Для решения можно применить комбинаторное правило умножения. Рассуждаем последовательно:

1. На первое место может претендовать любой из 7 шахматистов. Следовательно, есть 7 вариантов.

2. После того как первое место занято одним шахматистом, на второе место могут претендовать оставшиеся 6 человек. Таким образом, есть 6 вариантов.

3. Соответственно, на третье место остается 5 претендентов.

Чтобы найти общее число способов распределения мест, нужно перемножить количество вариантов для каждого места: $7 \times 6 \times 5 = 210$.

Также для решения этой задачи можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ где $n$ — общее число элементов (в нашем случае $n=7$ шахматистов), а $k$ — количество выбираемых элементов (в нашем случае $k=3$ призовых места).

Подставляя значения в формулу, получаем: $A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Оба метода дают одинаковый результат. Существует 210 способов распределить три первых места между семью шахматистами.

Ответ: 210