Номер 759, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

759. Вычислите:

а) $P_{10} : P_9;$

б) $P_{50} : P_{49};$

в) $P_{20} : P_{18}.$

В данной задаче используется понятие числа перестановок из n элементов, которое обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

где $n!$ - это факториал числа $n$.

Для решения задачи понадобится основное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

а) $P_{10} : P_9$

Требуется найти отношение числа перестановок из 10 элементов к числу перестановок из 9 элементов. Запишем это отношение, используя формулу для числа перестановок:

$P_{10} : P_9 = \frac{P_{10}}{P_9} = \frac{10!}{9!}$

Используя свойство факториала, представим $10!$ как $10 \cdot 9!$:

$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} = 10$

Ответ: 10

б) $P_{50} : P_{49}$

Найдем отношение числа перестановок из 50 элементов к числу перестановок из 49 элементов.

$P_{50} : P_{49} = \frac{P_{50}}{P_{49}} = \frac{50!}{49!}$

Представим $50!$ как $50 \cdot 49!$:

$\frac{50!}{49!} = \frac{50 \cdot 49!}{49!}$

Сократим $49!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{50 \cdot \cancel{49!}}{\cancel{49!}} = 50$

Ответ: 50

в) $P_{20} : P_{18}$

Найдем отношение числа перестановок из 20 элементов к числу перестановок из 18 элементов.

$P_{20} : P_{18} = \frac{P_{20}}{P_{18}} = \frac{20!}{18!}$

Используя свойство факториала дважды, представим $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18!$:

$\frac{20!}{18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!}$

Сократим $18!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{20 \cdot 19 \cdot \cancel{18!}}{\cancel{18!}} = 20 \cdot 19$

Вычислим произведение:

$20 \cdot 19 = 380$

Ответ: 380