Номер 766, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

766. У билетного кассира имеются для продажи билеты на автобус с номерами от 000000 до 999999. Сколько номеров билетов из этого набора записаны разными цифрами?

По условию задачи, номера билетов являются шестизначными числами в диапазоне от 000000 до 999999. Это означает, что номер билета представляет собой последовательность из 6 цифр, и на любой позиции, включая первую, может стоять ноль.

Нам необходимо найти количество таких номеров, у которых все шесть цифр различны. Для составления номеров мы можем использовать 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Задача сводится к нахождению числа размещений без повторений из 10 элементов по 6. Будем определять количество вариантов для каждой из шести позиций в номере билета последовательно.

• На первую позицию можно поставить любую из 10 цифр. Количество вариантов: 10.
• На вторую позицию можно поставить любую из оставшихся 9 цифр (так как одна цифра уже использована на первой позиции). Количество вариантов: 9.
• На третью позицию можно поставить любую из оставшихся 8 цифр. Количество вариантов: 8.
• На четвертую позицию можно поставить любую из оставшихся 7 цифр. Количество вариантов: 7.
• На пятую позицию можно поставить любую из оставшихся 6 цифр. Количество вариантов: 6.
• На шестую позицию можно поставить любую из оставшихся 5 цифр. Количество вариантов: 5.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число способов составить такой номер равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5$

Это число также можно вычислить с помощью формулы для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 10$ (количество цифр) и $k = 6$ (длина номера билета):

$A_{10}^6 = \frac{10!}{(10-6)!} = \frac{10!}{4!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151200$

Таким образом, существует 151 200 номеров билетов, которые записаны шестью различными цифрами.

Ответ: 151200