Номер 770, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

770. Вычислите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^4$;

в) $C_5^3$;

г) $C_7^4$;

д) $C_7^5$;

е) $C_8^6$.

Для решения данной задачи необходимо вычислить значения биномиальных коэффициентов, или числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Также полезно помнить свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$, которое часто упрощает вычисления.

a) Вычислим $C_4^3$.

Здесь $n=4$ и $k=3$. Применим формулу:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{24}{6} = 4$.

Используя свойство симметрии, получаем тот же результат: $C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4

б) Вычислим $C_5^4$.

Здесь $n=5$ и $k=4$. Проще всего использовать свойство симметрии:

$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5}{1} = 5$.

Прямой расчет по основной формуле дает: $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5$.

Ответ: 5

в) Вычислим $C_5^3$.

Здесь $n=5$ и $k=3$. Подставляем значения в формулу:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

г) Вычислим $C_7^4$.

Здесь $n=7$ и $k=4$. Расчет по формуле:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$.

Ответ: 35

д) Вычислим $C_7^5$.

Здесь $n=7$ и $k=5$. Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии: $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Теперь вычислим $C_7^2$:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Ответ: 21

e) Вычислим $C_8^6$.

Здесь $n=8$ и $k=6$. Применим свойство симметрии: $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$.

Вычислим $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28