Номер 769, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

769. Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два. Чему равно $C_5^2$?

Выпишем все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два.

Сочетание — это набор элементов из множества, в котором их порядок не имеет значения. Это означает, что набор {$x_1, x_2$} и набор {$x_2, x_1$} являются одним и тем же сочетанием.

Нам дано множество из пяти элементов: {$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$}. Мы должны составить все возможные уникальные пары (сочетания по два элемента).

Систематически перечислим все такие пары:
1. Начнем с элемента $x_1$ и составим пары со всеми последующими элементами: {$x_1, x_2$}, {$x_1, x_3$}, {$x_1, x_4$}, {$x_1, x_5$}.
2. Теперь возьмем элемент $x_2$ и составим пары с последующими элементами (пару с $x_1$ уже учли): {$x_2, x_3$}, {$x_2, x_4$}, {$x_2, x_5$}.
3. Далее, для элемента $x_3$ (пары с $x_1$ и $x_2$ уже есть): {$x_3, x_4$}, {$x_3, x_5$}.
4. И, наконец, для элемента $x_4$ осталась одна пара: {$x_4, x_5$}.

Всего получилось 4 + 3 + 2 + 1 = 10 сочетаний.

Ответ: {$x_1, x_2$}, {$x_1, x_3$}, {$x_1, x_4$}, {$x_1, x_5$}, {$x_2, x_3$}, {$x_2, x_4$}, {$x_2, x_5$}, {$x_3, x_4$}, {$x_3, x_5$}, {$x_4, x_5$}.

Чему равно $C_5^2$?

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ и находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в одном сочетании.

В нашем случае $n=5$ и $k=2$. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$

Теперь раскроем факториалы и проведем вычисления. Можно сократить $3!$ в числителе и знаменателе:

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Результат вычисления, 10, совпадает с количеством сочетаний, которые были выписаны вручную в первой части задачи.

Ответ: 10.