Номер 752, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

752. Что называют перестановкой из $n$ элементов?

Перестановкой из 𝑛 элементов называют любое упорядоченное множество (или, другими словами, последовательность), которое можно составить из данных 𝑛 элементов. Важно, что в каждой такой последовательности используются все 𝑛 элементов, и каждый из них — ровно один раз.

Главное, что отличает перестановки — это то, что порядок элементов имеет значение. Если поменять местами хотя бы два элемента, получится уже другая перестановка.

Пример:

Возьмём множество из трех элементов, например, цифр {1, 2, 3}. Мы хотим найти все возможные способы расставить их по порядку. Такими способами (перестановками) будут:

• (1, 2, 3)
• (1, 3, 2)
• (2, 1, 3)
• (2, 3, 1)
• (3, 1, 2)
• (3, 2, 1)

Всего получилось 6 различных перестановок из трех элементов.

Формула для вычисления числа перестановок:

Число всех возможных перестановок из 𝑛 элементов обозначается символом $P_n$ и вычисляется по формуле "эн факториал":

$P_n = n!$

Здесь $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Также по определению принято, что $0! = 1$.

Проверим формулу на нашем примере:

Для множества {1, 2, 3} у нас $n = 3$. Число перестановок будет:

$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Результат совпал с тем, который мы получили, перебирая все варианты вручную.

Ответ: Перестановкой из 𝑛 элементов называют любую упорядоченную последовательность, составленную из всех этих 𝑛 элементов. Число всех таких перестановок вычисляется как факториал числа элементов: $P_n = n!$.