Номер 745, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

745. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколькими способами можно осуществить выбор?

Для решения этой задачи нужно определить общее количество учеников в классе и затем использовать принципы комбинаторики для нахождения числа возможных способов выбора старосты и его заместителя.

1. Сначала найдем общее количество учеников в классе. В классе 12 мальчиков и 15 девочек, следовательно, общее число учеников $n$ равно: $n = 12 + 15 = 27$

2. Теперь нужно выбрать двух человек на две различные должности: старосту и заместителя. Поскольку должности разные, порядок выбора имеет значение. Если мы выберем ученика А старостой, а ученика Б заместителем, это будет один способ. Если же мы выберем ученика Б старостой, а ученика А заместителем — это будет уже другой способ. Такие комбинации, где важен порядок, называются размещениями.

Мы можем решить эту задачу, используя правило произведения:

• На должность старосты можно выбрать любого из 27 учеников. Таким образом, есть 27 вариантов.
• После того как староста выбран, он уже не может быть своим заместителем. Следовательно, на должность заместителя остается $27 - 1 = 26$ учеников. Таким образом, есть 26 вариантов для выбора заместителя.

Общее количество способов выбора старосты и заместителя равно произведению числа вариантов для каждой должности: $N = 27 \times 26 = 702$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=27$ (общее количество учеников), а $k=2$ (количество должностей). Подставим значения в формулу: $A_{27}^2 = \frac{27!}{(27-2)!} = \frac{27!}{25!} = \frac{27 \times 26 \times 25 \times \dots \times 1}{25 \times \dots \times 1} = 27 \times 26 = 702$

Таким образом, существует 702 способа выбрать старосту и его заместителя.

Ответ: 702.