Номер 740, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

740. a) На окружности отметили 7 точек. Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились 7 друзей, каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

а) Чтобы найти количество отрезков, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из 7 данных точек. Каждый отрезок соединяет ровно две точки, и порядок точек в паре не имеет значения (отрезок между точкой А и точкой Б — это тот же самый отрезок, что и между Б и А). Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n=7$ элементов по $k=2$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставляем наши значения: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

Другой способ рассуждения: каждая из 7 точек соединяется с 6 другими. Произведение $7 \times 6 = 42$ считает каждый отрезок дважды, поэтому его нужно разделить на 2: $\frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21.

б) Данная задача математически эквивалентна предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между парой из двух человек. Следовательно, нам нужно найти количество всех возможных пар, которые можно составить из 7 друзей.

Это также задача на нахождение числа сочетаний из 7 по 2. Расчет будет идентичен:

$C_7^2 = \frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.

Также можно посчитать последовательно: первый друг пожимает руку 6-ти друзьям. Второй пожимает руку 5-ти оставшимся (его рукопожатие с первым уже учтено). Третий — 4-м, и так далее. Общее число рукопожатий будет суммой: $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Ответ: 21.