Номер 738, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

738. Сколько двухзначных, трёхзначных, четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4:

а) без повторения;

б) с повторением?

а) без повторения;

В этом случае мы составляем числа из набора цифр {1, 2, 3, 4} так, чтобы каждая цифра в числе использовалась не более одного раза. Это задача на нахождение числа размещений без повторений, где порядок важен. Мы будем использовать основное правило комбинаторики (правило произведения).

Двузначные числа:

Для первой цифры числа есть 4 варианта выбора (любая из цифр 1, 2, 3, 4). Поскольку цифры не могут повторяться, для второй цифры остаётся $4 - 1 = 3$ варианта. Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$4 \times 3 = 12$.

Это также можно рассчитать по формуле числа размещений из 4 элементов по 2: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12$.

Трёхзначные числа:

Для первой цифры есть 4 варианта, для второй — 3 оставшихся варианта, а для третьей — 2. Общее количество:

$4 \times 3 \times 2 = 24$.

По формуле числа размещений из 4 по 3: $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24$.

Четырёхзначные числа:

Здесь мы используем все 4 цифры. Количество таких чисел равно числу перестановок из 4 элементов, так как мы должны расставить все 4 цифры по 4 позициям:

$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$.

По формуле числа размещений из 4 по 4: $A_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = 4! = 24$.

Ответ: можно составить 12 двузначных, 24 трёхзначных и 24 четырёхзначных числа.

б) с повторением?

В этом случае цифры в числе могут повторяться. Это означает, что для каждой позиции в числе мы можем выбрать любую из 4-х доступных цифр, независимо от выбора для других позиций. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями.

Двузначные числа:

Для каждой из двух позиций в числе (десятки и единицы) можно выбрать любую из 4-х цифр. Количество вариантов:

$4 \times 4 = 4^2 = 16$.

Общая формула для размещений с повторениями из $n$ по $k$: $\bar{A}_n^k = n^k$. Здесь $n=4, k=2$.

Трёхзначные числа:

Для каждой из трёх позиций можно выбрать любую из 4-х цифр:

$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$.

Здесь $n=4, k=3$.

Четырёхзначные числа:

Аналогично, для каждой из четырёх позиций можно выбрать любую из 4-х цифр:

$4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256$.

Здесь $n=4, k=4$.

Ответ: можно составить 16 двузначных, 64 трёхзначных и 256 четырёхзначных чисел.