Номер 747, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

747. Сколькими способами:

a) 3 человека могут разместиться на трёхместной скамейке;

б) 3 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке;

в) 4 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке?

а) 3 человека могут разместиться на трёхместной скамейке;

Эта задача о количестве способов расположить 3 различных объекта (людей) на 3 различных местах. Поскольку важен порядок, в котором люди сидят, мы имеем дело с перестановками. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=3$, поэтому количество способов равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Можно рассуждать и по-другому: для первого человека есть 3 варианта сесть. Для второго остаётся 2 свободных места. Для третьего — только 1. Общее число способов по правилу умножения равно $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6 способов.

б) 3 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке;

В этой задаче нужно разместить 3 человека на 4-местной скамейке. Это означает, что нужно выбрать 3 места из 4 и рассадить на них 3 человек. Так как порядок рассадки важен, мы используем формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n$ — это количество мест, а $k$ — количество людей.

Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (места) и $k=3$ (человека). Подставляем значения в формулу:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{24}{1} = 24$

Также можно рассуждать последовательно: первый человек может выбрать любое из 4 мест. Второй человек может выбрать любое из оставшихся 3 мест. Третий человек может выбрать одно из оставшихся 2 мест. По правилу умножения, общее количество способов равно: $4 \times 3 \times 2 = 24$.

Ответ: 24 способа.

в) 4 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке?

Эта задача аналогична пункту а), но для 4 человек и 4 мест. Необходимо найти количество способов расположить 4 различных объекта (людей) на 4 различных местах. Это задача на нахождение числа перестановок из 4 элементов.

Используем формулу перестановок $P_n = n!$ для $n=4$:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Рассуждая последовательно: первый человек может сесть на любое из 4 мест. Второй — на любое из 3 оставшихся. Третий — на любое из 2 оставшихся, а четвёртый — на последнее свободное место. Общее число способов: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24 способа.