Номер 748, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

748. Сколько различных автомобильных номеров можно получить, используя три из 30 букв русского алфавита (без ь, ъ, ы) и четыре из десяти цифр (от 0 до 9), если цифры и буквы повторять не разрешается и номер должен иметь вид, как на рисунке 90?

Для решения данной задачи необходимо применить методы комбинаторики. Автомобильный номер состоит из двух независимых частей: буквенной и цифровой. Общее количество различных номеров будет равно произведению числа возможных комбинаций для букв и числа возможных комбинаций для цифр (согласно правилу произведения).

По условию, ни буквы, ни цифры в номере повторяться не могут, а их порядок важен. Это означает, что для подсчета вариантов мы будем использовать формулу для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов для выбора, а $k$ — количество элементов, которое мы выбираем и расставляем.

Сначала найдем количество способов составить буквенную часть номера. Нам нужно выбрать и расставить 3 различные буквы из 30 доступных. Здесь $n=30$ и $k=3$.

Число комбинаций для букв:$N_{букв} = A_{30}^3 = 30 \cdot (30-1) \cdot (30-2) = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24360$.

Далее найдем количество способов составить цифровую часть номера. Мы должны выбрать и расставить 4 различные цифры из 10 доступных (от 0 до 9). Здесь $n=10$ и $k=4$.

Число комбинаций для цифр:$N_{цифр} = A_{10}^4 = 10 \cdot (10-1) \cdot (10-2) \cdot (10-3) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.

Теперь, чтобы найти общее количество различных автомобильных номеров, перемножим количество вариантов для буквенной и цифровой частей. Конкретный вид номера (упомянутый "рисунок 90") определяет лишь взаимное расположение букв и цифр, но не меняет общего числа комбинаций, так как мы уже учли важность порядка при расчете размещений.

Общее количество номеров:$N_{общ} = N_{букв} \cdot N_{цифр} = 24360 \cdot 5040 = 122774400$.

Ответ: 122 774 400.