Номер 749, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

749. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Для генеральной уборки школы надо выбрать трёх мальчиков и четырёх девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику, поскольку нам нужно выбрать группы людей, и порядок выбора внутри группы не имеет значения. Задача разбивается на два независимых действия: выбор мальчиков и выбор девочек. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого действия.

1. Выбор мальчиков.

Нужно выбрать 3 мальчиков из 12. Количество способов сделать это — число сочетаний из 12 по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которое нужно выбрать.

В нашем случае $n=12$ и $k=3$.

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$ способов выбрать мальчиков.

2. Выбор девочек.

Нужно выбрать 4 девочек из 15. Количество способов сделать это — число сочетаний из 15 по 4.

В данном случае $n=15$ и $k=4$.

$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{11! \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{24}$.

Сократим дробь: $\frac{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{2} = 13 \cdot 7 \cdot 15 = 1365$ способов выбрать девочек.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать группу для уборки, нужно перемножить количество способов выбора мальчиков и количество способов выбора девочек (согласно правилу произведения в комбинаторике).

$N = C_{12}^3 \cdot C_{15}^4 = 220 \cdot 1365 = 300300$ способов.

Ответ: 300300.